Dowodzenie podzielności, używając wzorów skróconego mnożenia

Wykaż, że liczba

a) 214³ + 73³ jest podzielna przez 287,

b) 5⁶ - 3⁶ jest podzielna przez 16.

Liceum Matematyka

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

31.01.2020 16:32

a) Korzystamy ze wzoru na sumę sześcianów a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

$214^3+73^3=(214+73)(214^2-214\cdot73+73^2)=287(214^2-214\cdot73+73^2)$

Liczba w nawiasie jest naturalna, więc 287 jest dzielnikiem liczby 214³ + 73³.

b) Stosujmy wzór na różnicę sześcianów a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²).

$5^6 - 3^6 = (5^2 - 3^2)(5^4 + 5^2 \cdot 3^2 + 3^4) = (25 - 9)(5^4 + 5^2 \cdot 3^2 + 3^4) = 16(5^4 + 5^2 \cdot 3^2 + 3^4)$

Zatem, liczba 16 jest dzielnikiem liczby 5⁶ - 3⁶.

Dzięki! 1

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: