Jednym z zastosowań funkcji trygonometrycznych jest ich wykorzystanie do obliczania pola trójkąta, gdy dana jest miara jednego z kątów oraz długości boków przy tym kącie.
Funkcją trygonometryczną, z której będziemy korzystać, jest funkcja sinus. Pole trójkąta wyraża się następującymi wzorami (oznaczenia jak na rysunku):
\(P_{ \Delta } = \frac{1}{2} a b \sin \gamma \)
\(P_{ \Delta } = \frac{1}{2} ac \sin \beta\)
\(P_{ \Delta } = \frac{1}{2} bc \sin \alpha\)
Innymi słowy zatem, pole trójkąta jest połową iloczynu długości dwóch boków tego trójkąta, oraz sinusa kąta pomiędzy tymi bokami.
Przykład:
W pewnym trójkącie wiadomoo, że jego dwa boki mają długość \(2\) i \(3\), a kąt pomiędzy nimi wynosi \(60^\circ\). Znaleźć pole tego trójkąta?
\(P_{\Delta} = \frac {1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin60^\circ = 3 \cdot \frac {\sqrt{3}}{2} = \frac {3\sqrt{3}}{2}\)
Zadanie:
Jakie będzie pole trójkąta, jeśli \(a\) i \(b\) oraz \( \alpha \) są jak na rysunku?
Rozwiązanie:
Pole trójkąta wynosi \(14\).