Drugim z ważnych twierdzeń geometrycznych związanych z funkcjami trygonometrycznymi jest twierdzenie cosinusów, będące uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na trójkąty o dowolnych kątach.
Twierdzenie: W trójkącie kwadrat dowolnego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinus kąta zawartego między nimi.
Dowód:
Dowód przeprowadzimy dla równości (dla pozostałych dwóch analogicznie).
Należy wziąć pod uwagę trzy sytuacje, w zależności od miary kąta .
Gdy kąt ten jest kątem prostym, sytuacja trywializuje się, a równość sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa (,
).
Zdecydowanie ciekawsze są przypadki, gdy kąt jest kątem ostrym lub kątem rozwartym.
Gdy kąt jest ostry dzielimy trójkąt wysokością na dwa mniejsze w sposób taki, jak na rysunku.
Wówczas , zatem
.
Dla każdego z powstałych trójkątów stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
,
.
Po przekształceniu obu równań przyjmują one postać
,
.
Zatem
Przenosząc odpowiednie wyrażenia na odpowiednie strony dostajemy
Gdy jest kątem rozwarty drugi trójkąt tworzymy prowadzący wysokość na przedłużenie boku
.
Zauważmy, że , a po przekształceniu
.
Zachodzą także następujące równości (z twierdzenia Pitagorasa):
,
.
Po przekształceniu zaś
Skąd
.
A zatem
.
Ponieważ (z wzorów redukcyjnych dla funkcji cosinus)
Zatem
Co kończy dowód.
Twierdzenie cosinusów, podobnie jak twierdzenie sinusów, bywa pomocne w rozwiązywaniu zadań z geometrii trójkąta.
Przykład:
Znaleźć długość boku , mając dane:
,
,
(gdzie
- kąt leżący na przeciw boku
).
Korzystamy z twierdzenia cosinusów:
Zatem .
Zadania:
Znaleźć bok , jeśli:
a) ,
,
,
b) ,
,
.
Odpowiedzi:
a) ,
b) .