Drugim z ważnych twierdzeń geometrycznych związanych z funkcjami trygonometrycznymi jest twierdzenie cosinusów, będące uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na trójkąty o dowolnych kątach.
Twierdzenie: W trójkącie kwadrat dowolnego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinus kąta zawartego między nimi.
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \)
Dowód:
Dowód przeprowadzimy dla równości \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \) (dla pozostałych dwóch analogicznie).
Należy wziąć pod uwagę trzy sytuacje, w zależności od miary kąta \( \alpha \).
Gdy kąt ten jest kątem prostym, sytuacja trywializuje się, a równość sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa (\(\cos 90^\circ = 0\), \(a^2 = b^2 + c^2\)).
Zdecydowanie ciekawsze są przypadki, gdy kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym lub kątem rozwartym.
Gdy kąt \( \alpha \) jest ostry dzielimy trójkąt wysokością na dwa mniejsze w sposób taki, jak na rysunku.
Wówczas \(\cos \alpha = \frac{x}{c} \), zatem \(x = c \cos \alpha \).
Dla każdego z powstałych trójkątów stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
\(x^2 + h^2 = c^2\),
\((b-x)^2 + h^2 = a^2\).
Po przekształceniu obu równań przyjmują one postać
\(h = \sqrt{c^2 - x^2} \),
\(h = \sqrt{a^2 - (b-x)^2} \).
Zatem
\( \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - (b-x)^2} \)
\({c^2 - x^2} = {a^2 - (b^2 -2bx+ x^2})\)
Przenosząc odpowiednie wyrażenia na odpowiednie strony dostajemy
\(a^2 = c^2 - x^2 + b^2 - 2bx + x^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \)
Gdy \( \alpha \) jest kątem rozwarty drugi trójkąt tworzymy prowadzący wysokość na przedłużenie boku \(b\).
Zauważmy, że \(\cos \theta = \frac{x}{c} \), a po przekształceniu \(x = c\cos \theta\).
Zachodzą także następujące równości (z twierdzenia Pitagorasa):
\(a^2 = (b+x)^2 + h^2\),
\(c^2 = x^2 + h^2\).
Po przekształceniu zaś
\(h = \sqrt{a^2 - (b+x)^2 }\)
\(h = \sqrt{c^2 - x^2 }\)
Skąd
\(a^2 - (b^2 + x^2 + 2bx) = c^2 - x^2\).
A zatem
\(a^2 = b^2 + x^2 + 2bx + c^2 - x^2 = b^2 + 2bx + c^2 = b^2 + c^2 + 2b \cos \theta\).
Ponieważ (z wzorów redukcyjnych dla funkcji cosinus)
\(\cos \theta = \cos(180^\circ - \alpha ) = - \cos \alpha \)
Zatem
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \)
Co kończy dowód.
Twierdzenie cosinusów, podobnie jak twierdzenie sinusów, bywa pomocne w rozwiązywaniu zadań z geometrii trójkąta.
Przykład:
Znaleźć długość boku \(c\), mając dane: \(a = 5\), \(b = 7\), \( \gamma = 60^\circ\) (gdzie \( \gamma \) - kąt leżący na przeciw boku \(c\)).
Korzystamy z twierdzenia cosinusów: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma = 5^2 + 7^2 -2\cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 -70 \cdot \frac{1}{2} = 74 -35 = 39\)
Zatem \(c = \sqrt{39} \).
Zadania:
Znaleźć bok \(c\), jeśli:
a) \(a = 3\), \(b = 2 \sqrt{2} \), \( \gamma = 45^\circ\),
b) \(a = 4\), \(b = \sqrt{3 }\), \( \gamma = 30^\circ\).
Odpowiedzi:
a) \(c = \sqrt{5} \),
b) \(c = \sqrt{7 }\).