Twierdzenie cosinusów – dowód, zadania

 

Drugim z ważnych twierdzeń geometrycznych związanych z funkcjami trygonometrycznymi jest twierdzenie cosinusów, będące uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na trójkąty o dowolnych kątach.

 

 

Twierdzenie: W trójkącie kwadrat dowolnego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinus kąta zawartego między nimi.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos  \alpha

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos  \beta

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos  \gamma

 

Dowód:

Dowód przeprowadzimy dla równości a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos  \alpha (dla pozostałych dwóch analogicznie).

Należy wziąć pod uwagę trzy sytuacje, w zależności od miary kąta  \alpha .

 

Gdy kąt ten jest kątem prostym, sytuacja trywializuje się, a równość sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa (\cos 90^\circ = 0a^2 = b^2 + c^2).

 

 

 Zdecydowanie ciekawsze są przypadki, gdy kąt  \alpha  jest kątem ostrym lub kątem rozwartym. 

  

 

 

 

Gdy kąt  \alpha  jest ostry dzielimy trójkąt wysokością na dwa mniejsze w sposób taki, jak na rysunku. 

 

 

 

Wówczas \cos  \alpha =  \frac{x}{c} , zatem x = c \cos  \alpha .

Dla każdego z powstałych trójkątów stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

x^2 + h^2 = c^2,

(b-x)^2 + h^2 = a^2.

Po przekształceniu obu równań przyjmują one postać

h =  \sqrt{c^2 - x^2} ,

h =  \sqrt{a^2 - (b-x)^2} .

Zatem

 \sqrt{c^2 - x^2}  =  \sqrt{a^2 - (b-x)^2}  

{c^2 - x^2}  =  {a^2 - (b^2 -2bx+ x^2})

Przenosząc odpowiednie wyrażenia na odpowiednie strony dostajemy

 

a^2 = c^2 - x^2 + b^2 - 2bx + x^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos  \alpha

 

Gdy  \alpha jest kątem rozwarty drugi trójkąt tworzymy prowadzący wysokość na przedłużenie boku b.

  

Zauważmy, że \cos \theta = \frac{x}{c} , a po przekształceniu x = c\cos \theta.

Zachodzą także następujące równości (z twierdzenia Pitagorasa):

a^2 = (b+x)^2 + h^2,

 c^2 = x^2 + h^2.

Po przekształceniu zaś

 

h = \sqrt{a^2 - (b+x)^2 }

h = \sqrt{c^2 - x^2 }

Skąd

a^2 - (b^2 + x^2 + 2bx) = c^2 - x^2.

A zatem 

a^2  =  b^2 + x^2 + 2bx + c^2 - x^2 = b^2 +  2bx + c^2 = b^2 + c^2 + 2b \cos \theta.

Ponieważ (z wzorów redukcyjnych dla funkcji cosinus)

\cos \theta = \cos(180^\circ -  \alpha ) = - \cos \alpha

Zatem

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos  \alpha

Co kończy dowód.

 

Twierdzenie cosinusów, podobnie jak twierdzenie sinusów, bywa pomocne w rozwiązywaniu zadań z geometrii trójkąta.

 

Przykład:

Znaleźć długość boku c, mając dane: a = 5, b = 7 \gamma  = 60^\circ (gdzie  \gamma  - kąt leżący na przeciw boku c).

 

Korzystamy z twierdzenia cosinusów: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma  = 5^2 + 7^2 -2\cdot  5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 -70 \cdot  \frac{1}{2} = 74 -35 = 39 

Zatem c =  \sqrt{39} .

 

Zadania:

Znaleźć bok c, jeśli:

a) a = 3, b = 2  \sqrt{2}  \gamma  = 45^\circ,

b) a = 4, b =  \sqrt{3 } \gamma  = 30^\circ

 

Odpowiedzi:

a) c =  \sqrt{5} ,

b) c =  \sqrt{7 }.

Polecamy również:

Komentarze (2)
Wynik działania 3 + 2 =
Basia
2023-05-06 16:47:10
Bardzo przydatne dzięki
Zbyszek
2020-03-16 18:04:08
Strasznie słabe nic nadal nie umiem PFFFFFFF
Ostatnio komentowane
Fajne
• 2024-04-17 15:24:05
xdxd jestem taka sigma ze to szok pyr jala
• 2024-04-17 09:06:00
xd
• 2024-04-16 17:58:56
@Mariola - dziękujemy za zwrócenie uwagi, wpis został poprawiony. Pozdrawiamy :)
• 2024-04-16 07:36:55