Funkcjami trygonometrycznymi nazywamy związki między długościami poszczególnych boków trójkąta oraz miarami jego kątów. Do podstawowych funckji trygonometrycznych należą sinus, cosinus, tangens i cotangens (inne funkcje to na przykład secans i cosecans).
Jeśli boki trójkąta prostokątnego oznaczymy literami ,
i
, a jeden z jego kątów ostrych jako
tak, jak pokazano na rysunku, to definicje funkcji będą następujące:
Nie należy się jednak zbytnio przyzwyczajać do tych oznaczeń, bowiem funkcje oznaczają związki między konkretnymi bokami i kątami, a użyte do ich oznaczenia litery pełnią funkcję jedynie pomocniczą - nie zawsze też - zwłaszcza w prostych obliczeniach - są używane, często do wzoru wstawia się bezpośrednio wartości liczbowe.
W konktekście funkcji trygonometrycznych warto jest znać pewne pojęcia, w tym przypadku - nazwy boków trójkąta prostokątnego. Bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną, natomiast pozostałe dwa boki - przyprostokątnymi (leżą one przy kącie prostym).
Definicje funkcji:
Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, do przeciwprostokątnej.
Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.
Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przyprostokątnej leżacej naprzeciw tego kąta.
Znane są wartości funkcji trygonometrycznych określonego kąta.
Podstawowe wartości zaprezentowane są w tablicy trygonometrycznej funkcji.
Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych bywa pomocna przy rozwiązywaniu zadań z geometrii trójkąta.
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym - zadanie - przykład:
W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość , a ramiona
. Znaleźć wysokość tego trójkąta.
Ponieważ funkcje trygonometryczne tak, jak je powyżej zdefiniowaliśmy, odnoszą się tylko do trójkąta prostokątnego (choć można je zdefiniować również dla kątów dowolnej miary), a trójkąt w zadaniu jest równoramienny (zatem wysokość dzieli go na dwa jednakowe trójkąty prostokątne), zastosujemy funkcje dla kąta zaznaczonego na rysunku.
Szukamy wysokości - a zatem przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta - gdy dane mamy pozostałe boki.
Skorzystamy z funkcji cosinus, by znaleźć miarę kąta .
, zatem kąt
wynosi
. Wiedząc to, posłużymy się funkcją sinus (choć równie dobrze mógłby to być tangens lub cotangens). Otrzymujemy równość:
, a jednocześnie wiemy, że
, zatem
, więc
.
Gdyby wykorzystać funkcję tangens, rozumowanie przebiegałoby następujące kroki:
, przy czym wiemy, że
, stąd
, a po przekształceniu otrzymujemy, że
.
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym - zadanie:
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość , a kąt leżący naprzeciwko niej ma miarę
. Znaleźć długości pozostałych boków.
Odpowiedź:
,
.