Funkcjami trygonometrycznymi nazywamy związki między długościami poszczególnych boków trójkąta oraz miarami jego kątów. Do podstawowych funckji trygonometrycznych należą sinus, cosinus, tangens i cotangens (inne funkcje to na przykład secans i cosecans).
Jeśli boki trójkąta prostokątnego oznaczymy literami \(a\), \(b\) i \(c\), a jeden z jego kątów ostrych jako \( \alpha \) tak, jak pokazano na rysunku, to definicje funkcji będą następujące:
\(\sin \alpha = \frac{a}{c} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym\)
\(\cos \alpha = \frac{b}{c} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym\)
\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym\)
\(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym\)
Nie należy się jednak zbytnio przyzwyczajać do tych oznaczeń, bowiem funkcje oznaczają związki między konkretnymi bokami i kątami, a użyte do ich oznaczenia litery pełnią funkcję jedynie pomocniczą - nie zawsze też - zwłaszcza w prostych obliczeniach - są używane, często do wzoru wstawia się bezpośrednio wartości liczbowe.
W konktekście funkcji trygonometrycznych warto jest znać pewne pojęcia, w tym przypadku - nazwy boków trójkąta prostokątnego. Bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną, natomiast pozostałe dwa boki - przyprostokątnymi (leżą one przy kącie prostym).
Definicje funkcji:
Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, do przeciwprostokątnej.
Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.
Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przyprostokątnej leżacej naprzeciw tego kąta.
Znane są wartości funkcji trygonometrycznych określonego kąta.
Podstawowe wartości zaprezentowane są w tablicy trygonometrycznej funkcji.
Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych bywa pomocna przy rozwiązywaniu zadań z geometrii trójkąta.
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym - zadanie - przykład:
W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość \(4 \sqrt{3} \), a ramiona \(4\). Znaleźć wysokość tego trójkąta.
Ponieważ funkcje trygonometryczne tak, jak je powyżej zdefiniowaliśmy, odnoszą się tylko do trójkąta prostokątnego (choć można je zdefiniować również dla kątów dowolnej miary), a trójkąt w zadaniu jest równoramienny (zatem wysokość dzieli go na dwa jednakowe trójkąty prostokątne), zastosujemy funkcje dla kąta \( \alpha \) zaznaczonego na rysunku.
Szukamy wysokości - a zatem przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \( \alpha \) - gdy dane mamy pozostałe boki.
Skorzystamy z funkcji cosinus, by znaleźć miarę kąta \( \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{2 \sqrt{3} }{4} = \frac{ \sqrt{3} }{2} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym \), zatem kąt \( \alpha \) wynosi \(30^\circ\). Wiedząc to, posłużymy się funkcją sinus (choć równie dobrze mógłby to być tangens lub cotangens). Otrzymujemy równość:
\(\sin \alpha = \frac{h}{4} \), a jednocześnie wiemy, że \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), zatem \( \frac{h}{4} = \frac{1}{2} \), więc \(h = 2\).
Gdyby wykorzystać funkcję tangens, rozumowanie przebiegałoby następujące kroki:
\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{h}{2 \sqrt{3} } \), przy czym wiemy, że \(\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{ \sqrt{3} }{3} \), stąd \( \frac{h}{2 \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{3} \), a po przekształceniu otrzymujemy, że \(h = 2\).
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym - zadanie:
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(4\), a kąt leżący naprzeciwko niej ma miarę \(60^\circ\). Znaleźć długości pozostałych boków.
Odpowiedź:
\( \frac{ 8 \sqrt{3} }{3} \), \( \frac{ 4 \sqrt{3} }{3} \).