Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym – zadania

Funkcjami trygonometrycznymi nazywamy związki między długościami poszczególnych boków trójkąta oraz miarami jego kątów. Do podstawowych funckji trygonometrycznych należą sinus, cosinus, tangens i cotangens (inne funkcje to na przykład secans i cosecans).

 

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym 

Jeśli boki trójkąta prostokątnego oznaczymy literami abc, a jeden z jego kątów ostrych jako  \alpha tak, jak pokazano na rysunku, to definicje funkcji będą następujące:


\sin \alpha = \frac{a}{c}  Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

\cos \alpha = \frac{b}{c} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

\operatorname{tg} \alpha  =  \frac{a}{b} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

\operatorname{ctg} \alpha  =  \frac{b}{a} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

 

Nie należy się jednak zbytnio przyzwyczajać do tych oznaczeń, bowiem funkcje oznaczają związki między konkretnymi bokami i kątami, a użyte do ich oznaczenia litery pełnią funkcję jedynie pomocniczą - nie zawsze też - zwłaszcza w prostych obliczeniach - są używane, często do wzoru wstawia się bezpośrednio wartości liczbowe.

 

W konktekście funkcji trygonometrycznych warto jest znać pewne pojęcia, w tym przypadku - nazwy boków trójkąta prostokątnego. Bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną, natomiast pozostałe dwa boki - przyprostokątnymi (leżą one przy kącie prostym). 

 

Definicje funkcji:

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, do przeciwprostokątnej.

 

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przyprostokątnej leżacej naprzeciw tego kąta.

 

Znane są wartości funkcji trygonometrycznych określonego kąta.

Podstawowe wartości zaprezentowane są w tablicy trygonometrycznej funkcji.

 

tablica trygonometryczna funkcji 

 

Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych bywa pomocna przy rozwiązywaniu zadań z geometrii trójkąta.

 

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym - zadanie - przykład:

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 4 \sqrt{3} , a ramiona 4. Znaleźć wysokość tego trójkąta.Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Ponieważ funkcje trygonometryczne tak, jak je powyżej zdefiniowaliśmy, odnoszą się tylko do trójkąta prostokątnego (choć można je zdefiniować również dla kątów dowolnej miary), a trójkąt w zadaniu jest równoramienny (zatem wysokość dzieli go na dwa jednakowe trójkąty prostokątne), zastosujemy funkcje dla kąta  \alpha zaznaczonego na rysunku.

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Szukamy wysokości - a zatem przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta  \alpha - gdy dane mamy pozostałe boki.

 

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Skorzystamy z funkcji cosinus, by znaleźć miarę kąta  \alpha .

\cos \alpha  =  \frac{2 \sqrt{3} }{4}  =  \frac{ \sqrt{3} }{2} Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym , zatem kąt  \alpha  wynosi 30^\circ. Wiedząc to, posłużymy się funkcją sinus (choć równie dobrze mógłby to być tangens lub cotangens). Otrzymujemy równość:

\sin  \alpha =  \frac{h}{4} , a jednocześnie wiemy, że \sin  30^\circ =  \frac{1}{2} , zatem  \frac{h}{4} = \frac{1}{2} , więc h = 2.

Gdyby wykorzystać funkcję tangens, rozumowanie przebiegałoby następujące kroki:

\operatorname{tg} \alpha  =  \frac{h}{2 \sqrt{3} } , przy czym wiemy, że \operatorname{tg} 30^\circ =  \frac{ \sqrt{3} }{3} , stąd  \frac{h}{2 \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{3} , a po przekształceniu otrzymujemy, że h = 2.

 

 

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym - zadanie:

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4, a kąt leżący naprzeciwko niej ma miarę 60^\circ. Znaleźć długości pozostałych boków.

 

 

Odpowiedź:

 \frac{ 8 \sqrt{3} }{3} ,  \frac{ 4 \sqrt{3} }{3} .

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 2 =
Ostatnio komentowane
Śkad wziął się taki wynik?
• 2022-12-05 21:24:47
Ok
• 2022-12-05 13:53:43
ok
• 2022-12-02 16:29:38
dzięki
• 2022-11-28 16:21:19
ok
• 2022-11-25 15:27:39