Twierdzenie sinusów – dowód, zadania

Twierdzenie sinusów

Jednym z podstawowych wyników z trygonometrii jest tzw. twierdzenie sinusów.

Twierdzenie: W dowolnym trójkącie stosunku długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Twierdzenie sinusów

 

 

 \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin   \beta } = \frac{c}{\sin \gamma } = 2R

Dowód twierdzenia sinusów

Dowód tego twierdzenia jest następujący (przeprowadzimy tylko dla  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R - dla pozostałych przypadków dowód wyglądałby analogicznie).

 

Należy rozważyć trzy przypadki - gdy kąt  \alpha jest kątem ostrym, gdy jest kątem prostym oraz gdy jest kątem rozwartym.

Twierdzenie sinusów dowód

 

Gdy  \alpha jestm kątem prostym jego sinus jest równy 1, natomiast bok a jest równy średnicy (wniosek z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku) stąd otrzymujemy, że  \frac{a}{\sin \alpha}  =  \frac{2R}{1}  = 2R, zatem twierdzenie jest prawdziwe.

 

Gdy  \alpha jestm kątem ostrym konstruujemy drugi trójkąt tak, jak na rysunku.

 

Twierdzenie sinusów dowód

Trójkąt wyjściowy oznaczamy ABC, następnie zaś wybieramy na okręgu punkt D tak, żeby kąt przy wierzchołku B był kątem prostym. Wówczas dla trójkąta BCD prawdą będzie, że

\sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|}

A z faktu, że kąty \alpha\the są oparte na tym samym łuku ich miary są równe. Ponadto |CD| = 2R. Zatem

\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{a}{2R}

Co po przekształceniu daje równość  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

 

Gdy  \alpha jestm kątem rozwartym również posłużymy się trójkątem pomocniczym. 

Twierdzenie sinusów dowód

Punkt D został na okręgu obrany w taki sposób, by trójkąt BCD był trójkątem prostokątnym (kąt prosty przy wierzchołku C). Przy tym |BD| = 2R, oraz |BC| = a. Wówczas

\sin \theta = \frac{|BC|}{|BD|}

Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrągu   \alpha  + \theta = 180^\circ, zatem  \alpha  = 180^\circ - \theta .

Korzystając z odpowiednich wzorów redukcyjnych dla funkcji sinus mamy

\sin   \alpha  = \sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta

Więc ostatecznie

\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|BD|} = \frac{a}{2R}

Zatem (po przekształceniu)  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

 

Co kończy dowód. 

Zastosowanie

Twierdzenie sinusów bywa przydatne w zastosowaniach geometrycznych, gdy dane mamy tylko niektóre informacje odnośnie trójkąta, a chcemy poznać inne.

 

Przykład:

Znaleźć długość najkrótszego boku trójkąta o kątach 45^\circ60^\circ75^\circ wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 4.

 

 

Twierdzenie sinusów przykład 

 

Korzystamy z twierdzenia sinusów. Najkrótszy bok leży oczywiście na przeciwko najmniejszego z kątów, a zatem 45^\circ

 

 

 \frac{a}{\sin 45^\circ} =2R, więc a = 2 \cdot R \cdot \sin 45^\circ = 2 \cdot 4 \cdot  \frac{ \sqrt{2} }{2} = 4 \sqrt{2} .

 

 

 

Zadanie:

Znaleźć kąty trójkąta ABC, w którym |AB| =  \sqrt{6} |BC| = 3 \alpha = 60^\circ - kąt przy wierzchołku A.

 Twierdzenie sinusów zadanie

 

 

 

Rozwiązanie:

Miary pozostałych kątów wynoszą 45^\circ i 75^\circ

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 1 =
Ostatnio komentowane
Czyli,powiedzenie Polak Węgier dwa bratanki,nie jak się nie odnoszą względem pochodzen...
• 2022-06-16 19:03:58
ekstra
• 2022-06-18 17:12:40
ok
• 2022-06-08 15:52:28
dzięks
• 2022-06-06 19:26:13
Ale proste
• 2022-06-06 14:23:48