Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Twierdzenie sinusów – dowód, zadania

Ostatnio komentowane
Bardzo fajne, proste wyprowadzenie wzoru.
Eto Demerzel • 2019-07-15 07:25:47
jest git
jakubas kok • 2019-07-08 10:19:33
przydałyby się jeszcze daty
j • 2019-06-27 15:49:28
wolę określenie niewierzący w boga i objawienia, lub racjonalnie myślący. jest taka p...
bergo • 2019-06-22 15:18:51
Nie no ja sie zgadzam z państwem :s
Jakiś żul • 2019-06-22 06:43:06
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Twierdzenie sinusów

Jednym z podstawowych wyników z trygonometrii jest tzw. twierdzenie sinusów.

Twierdzenie: W dowolnym trójkącie stosunku długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Twierdzenie sinusów

 

 

 \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin   \beta } = \frac{c}{\sin \gamma } = 2R

Dowód twierdzenia sinusów

Dowód tego twierdzenia jest następujący (przeprowadzimy tylko dla  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R - dla pozostałych przypadków dowód wyglądałby analogicznie).

 

Należy rozważyć trzy przypadki - gdy kąt  \alpha jest kątem ostrym, gdy jest kątem prostym oraz gdy jest kątem rozwartym.

Twierdzenie sinusów dowód

 

Gdy  \alpha jestm kątem prostym jego sinus jest równy 1, natomiast bok a jest równy średnicy (wniosek z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku) stąd otrzymujemy, że  \frac{a}{\sin \alpha}  =  \frac{2R}{1}  = 2R, zatem twierdzenie jest prawdziwe.

 

Gdy  \alpha jestm kątem ostrym konstruujemy drugi trójkąt tak, jak na rysunku.

 

Twierdzenie sinusów dowód

Trójkąt wyjściowy oznaczamy ABC, następnie zaś wybieramy na okręgu punkt D tak, żeby kąt przy wierzchołku B był kątem prostym. Wówczas dla trójkąta BCD prawdą będzie, że

\sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|}

A z faktu, że kąty \alpha\the są oparte na tym samym łuku ich miary są równe. Ponadto |CD| = 2R. Zatem

\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{a}{2R}

Co po przekształceniu daje równość  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

 

Gdy  \alpha jestm kątem rozwartym również posłużymy się trójkątem pomocnicz

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 2 =
echo $this->Html->script('core.min'); echo $this->Html->script('blockadblock.js'); echo $this->Html->script('fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->css('/js/fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->script('jnice/jquery.jNice', array('async' => 'async')); echo $this->Html->css('/js/jnice/jNice.min');