Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Twierdzenie sinusów – dowód, zadania

Ostatnio komentowane
"Jezu Chry..."! Dawno już nie czytałem tak czerwonego, komuszego, wypaczonego opracowani...
Otwórz oczy • 2018-08-15 18:21:31
Według mnie bardzo przydatne dzięki temu tekstowi mniej więcej zrozumiałam jak dział...
Emilia • 2018-07-26 20:05:25
@Hasher To zależy już od tłumacza przekładu(Pisma zostały napisane w kilku językach ...
Hgfhfg • 2018-07-09 11:34:37
ok
andrzej duda • 2018-06-14 10:31:18
Super na spr.
Evogy • 2018-06-07 17:45:08
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Jednym z podstawowych wyników z trygonometrii jest tzw. twierdzenie sinusów.

 

Twierdzenie: W dowolnym trójkącie stosunku długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

 

 

 \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin   \beta } = \frac{c}{\sin \gamma } = 2R

 

Dowód tego twierdzenia jest następujący (przeprowadzimy tylko dla  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R - dla pozostałych przypadków dowód wyglądałby analogicznie).

 

Należy rozważyć trzy przypadki - gdy kąt  \alpha jest kątem ostrym, gdy jest kątem prostym oraz gdy jest kątem rozwartym.

 

Gdy  \alpha jestm kątem prostym jego sinus jest równy 1, natomiast bok a jest równy średnicy (wniosek z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku) stąd otrzymujemy, że  \frac{a}{\sin \alpha}  =  \frac{2R}{1}  = 2R, zatem twierdzenie jest prawdziwe.

 

Gdy  \alpha jestm kątem ostrym konstruujemy drugi trójkąt tak, jak na rysunku.

 

Trójkąt wyjściowy oznaczamy ABC, następnie zaś wybieramy na okręgu punkt D tak, żeby kąt przy wierzchołku B był kątem prostym. Wówczas dla trójkąta BCD prawdą będzie, że

\sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|}

A z faktu, że kąty \alpha\the są oparte na tym samym łuku ich miary są równe. Ponadto |CD| = 2R. Zatem

\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{a}{2R}

Co po przekształceniu daje równość  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

 

Gdy  \alpha jestm kątem rozwartym również posłużymy się trójkątem pomocniczym. 

Punkt D został na okręgu obrany w taki

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 2 =