Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Twierdzenie sinusów – dowód, zadania

Twierdzenie sinusów

Jednym z podstawowych wyników z trygonometrii jest tzw. twierdzenie sinusów.

Twierdzenie: W dowolnym trójkącie stosunku długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Twierdzenie sinusów

 

 

 \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin   \beta } = \frac{c}{\sin \gamma } = 2R

Dowód twierdzenia sinusów

Dowód tego twierdzenia jest następujący (przeprowadzimy tylko dla  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R - dla pozostałych przypadków dowód wyglądałby analogicznie).

 

Należy rozważyć trzy przypadki - gdy kąt  \alpha jest kątem ostrym, gdy jest kątem prostym oraz gdy jest kątem rozwartym.

Twierdzenie sinusów dowód

 

Gdy  \alpha jestm kątem prostym jego sinus jest równy 1, natomiast bok a jest równy średnicy (wniosek z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku) stąd otrzymujemy, że  \frac{a}{\sin \alpha}  =  \frac{2R}{1}  = 2R, zatem twierdzenie jest prawdziwe.

 

Gdy  \alpha jestm kątem ostrym konstruujemy drugi trójkąt tak, jak na rysunku.

 

Twierdzenie sinusów dowód

Trójkąt wyjściowy oznaczamy ABC, następnie zaś wybieramy na okręgu punkt D tak, żeby kąt przy wierzchołku B był kątem prostym. Wówczas dla trójkąta BCD prawdą będzie, że

\sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|}

A z faktu, że kąty \alpha\the są oparte na tym samym łuku ich miary są równe. Ponadto |CD| = 2R. Zatem

\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{a}{2R}

Co po przekształceniu daje równość  \frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

 

Gdy  \alpha jestm kątem rozwartym również posłużymy się trójkątem pomocnicz

Zobacz również

  • Pole trójkąta – trygonometria

    Jednym z zastosowań funkcji trygonometrycznych jest ich wykorzystanie do obliczania pola trójkąta, gdy dana jest miara jednego z kątów oraz długości boków przy tym kącie.

    Więcej
  • Twierdzenie cosinusów – dowód, zadania

    Drugim z ważnych twierdzeń geometrycznych związanych z funkcjami trygonometrycznymi jest twierdzenie cosinusów, będące uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na trójkąty o dowolnych kątach.

    Więcej

Losowe zadania

  • Wahadło matematyczne na innej planecie

    Jak zmieni sie okres drgań wahadła matematycznego wzgledem jego drgań na Ziemi, jeżeli umieścimy je na planecie o 3 razy wiekszym promieniu i 9-krotnie większej masie?

    0 Odpowiedz Więcej
  • Panowanie Bolesława Chrobrego

    Rozwiąż test. 1. Matką Bolesława Chrobrego była:a) Oda b) Jadwiga c) Dobrawa d) Świętosława 2. Od połowy lat 80. X wieku, jeszcze za życia Mieszka I, Bolesław Chrobry prawdopodobnie rządził:a) Małopolską b) Pomorzem Gdańskim c) Grodami Czerwieńskimi d) Mazowszem 3. Której ziemi Bolesław Chrobry NIE przyłączył do Polsk...

    0 Odpowiedz Więcej
  • energia kinetyczna

    Jaką energię kinetyczną będzie miało 3 kilogramowe piłka spadające swobodnie z wysokości 12 metrów, oblicz energię kinetyczną tej piłki na wysokości 2m nad ziemią?

    0 Odpowiedz Więcej
  • Twóczość Adama Mickiewicza

    Których utworów nie napisał Adam Mickiewicz? Grażyna,Treny, Król Lear, Makbet, Sonety krymskie, Pan Tadeusz, Lalka, Monachomachia

    0 Odpowiedz Więcej
  • Rodzaje syngamii

    Syngamia jest procesem zapłodnienia zachodzącym u grzybów i roślin. Polega na łączeniu się gamety żeńskiej z męską - zlania cytoplazm oraz jąder komórkowych. Czy istnieją różne rodzaje syngamii? Jeśli tak to wymień jakie, i co je rozróżnia.

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 4 =
Ostatnio komentowane
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28
Rzym podbity przez barbarzyńców powoli całkowicie zamierał. Styl romański jest uprosz...
Badacz wlotów i upadków cywilizacji • 2020-06-11 21:16:11