Twierdzenie sinusów
Jednym z podstawowych wyników z trygonometrii jest tzw. twierdzenie sinusów.
Twierdzenie: W dowolnym trójkącie stosunku długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
\( \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin \beta } = \frac{c}{\sin \gamma } = 2R\)
Dowód twierdzenia sinusów
Dowód tego twierdzenia jest następujący (przeprowadzimy tylko dla \( \frac{a}{\sin \alpha} = 2R\) - dla pozostałych przypadków dowód wyglądałby analogicznie).
Należy rozważyć trzy przypadki - gdy kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym, gdy jest kątem prostym oraz gdy jest kątem rozwartym.
Gdy \( \alpha \) jestm kątem prostym jego sinus jest równy \(1\), natomiast bok \(a\) jest równy średnicy (wniosek z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku) stąd otrzymujemy, że \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{2R}{1} = 2R\), zatem twierdzenie jest prawdziwe.
Gdy \( \alpha \) jestm kątem ostrym konstruujemy drugi trójkąt tak, jak na rysunku.
Trójkąt wyjściowy oznaczamy \(ABC\), następnie zaś wybieramy na okręgu punkt \(D\) tak, żeby kąt przy wierzchołku \(B\) był kątem prostym. Wówczas dla trójkąta \(BCD\) prawdą będzie, że
\(\sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|}\)
A z faktu, że kąty \(\alpha\) i \(\the\) są oparte na tym samym łuku ich miary są równe. Ponadto \(|CD| = 2R\). Zatem
\(\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{a}{2R}\)
Co po przekształceniu daje równość \( \frac{a}{\sin \alpha} = 2R\).
Gdy \( \alpha \) jestm kątem rozwartym również posłużymy się trójkątem pomocniczym.
Punkt \(D\) został na okręgu obrany w taki sposób, by trójkąt \(BCD\) był trójkątem prostokątnym (kąt prosty przy wierzchołku \(C\)). Przy tym \(|BD| = 2R\), oraz \(|BC| = a\). Wówczas
\(\sin \theta = \frac{|BC|}{|BD|}\)
Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrągu \( \alpha + \theta = 180^\circ\), zatem \( \alpha = 180^\circ - \theta \).
Korzystając z odpowiednich wzorów redukcyjnych dla funkcji sinus mamy
\(\sin \alpha = \sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta\)
Więc ostatecznie
\(\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|BD|} = \frac{a}{2R}\)
Zatem (po przekształceniu) \( \frac{a}{\sin \alpha} = 2R\).
Co kończy dowód.
Zastosowanie
Twierdzenie sinusów bywa przydatne w zastosowaniach geometrycznych, gdy dane mamy tylko niektóre informacje odnośnie trójkąta, a chcemy poznać inne.
Przykład:
Znaleźć długość najkrótszego boku trójkąta o kątach \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(75^\circ\) wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi \(4\).
Korzystamy z twierdzenia sinusów. Najkrótszy bok leży oczywiście na przeciwko najmniejszego z kątów, a zatem \(45^\circ\).
\( \frac{a}{\sin 45^\circ} =2R\), więc \(a = 2 \cdot R \cdot \sin 45^\circ = 2 \cdot 4 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 4 \sqrt{2} \).
Zadanie:
Znaleźć kąty trójkąta \(ABC\), w którym \(|AB| = \sqrt{6} \), \(|BC| = 3\), \( \alpha = 60^\circ\) - kąt przy wierzchołku \(A\).
Rozwiązanie:
Miary pozostałych kątów wynoszą \(45^\circ\) i \(75^\circ\).