Twierdzenie sinusów

Jednym z podstawowych wyników z trygonometrii jest tzw. twierdzenie sinusów.

Twierdzenie: W dowolnym trójkącie stosunku długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Twierdzenie sinusów

$\frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin \beta } = \frac{c}{\sin \gamma } = 2R$

Dowód twierdzenia sinusów

Dowód tego twierdzenia jest następujący (przeprowadzimy tylko dla $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$ - dla pozostałych przypadków dowód wyglądałby analogicznie).

Należy rozważyć trzy przypadki - gdy kąt $\alpha$ jest kątem ostrym, gdy jest kątem prostym oraz gdy jest kątem rozwartym.

Twierdzenie sinusów dowód

Gdy $\alpha$ jestm kątem prostym jego sinus jest równy $1$ , natomiast bok $a$ jest równy średnicy (wniosek z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku) stąd otrzymujemy, że $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{2R}{1} = 2R$ , zatem twierdzenie jest prawdziwe.

Gdy $\alpha$ jestm kątem ostrym konstruujemy drugi trójkąt tak, jak na rysunku.

Twierdzenie sinusów dowód

Trójkąt wyjściowy oznaczamy $ABC$ , następnie zaś wybieramy na okręgu punkt $D$ tak, żeby kąt przy wierzchołku $B$ był kątem prostym. Wówczas dla trójkąta $BCD$ prawdą będzie, że

$\sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|}$

A z faktu, że kąty $\alpha$ i $\the$ są oparte na tym samym łuku ich miary są równe. Ponadto $|CD| = 2R$ . Zatem

$\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{a}{2R}$

Co po przekształceniu daje równość $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$ .

Gdy $\alpha$ jestm kątem rozwartym również posłużymy się trójkątem pomocniczym.

Twierdzenie sinusów dowód

Punkt $D$ został na okręgu obrany w taki sposób, by trójkąt $BCD$ był trójkątem prostokątnym (kąt prosty przy wierzchołku $C$ ). Przy tym $|BD| = 2R$ , oraz $|BC| = a$ . Wówczas

$\sin \theta = \frac{|BC|}{|BD|}$

Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrągu $\alpha + \theta = 180^\circ$ , zatem $\alpha = 180^\circ - \theta$ .

Korzystając z odpowiednich wzorów redukcyjnych dla funkcji sinus mamy

$\sin \alpha = \sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta$

Więc ostatecznie

$\sin \alpha = \sin \theta = \frac{|BC|}{|BD|} = \frac{a}{2R}$

Zatem (po przekształceniu) $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$ .

Co kończy dowód.

Zastosowanie

Twierdzenie sinusów bywa przydatne w zastosowaniach geometrycznych, gdy dane mamy tylko niektóre informacje odnośnie trójkąta, a chcemy poznać inne.

Przykład:

Znaleźć długość najkrótszego boku trójkąta o kątach $45^\circ$ , $60^\circ$ , $75^\circ$ wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi $4$ .

Twierdzenie sinusów przykład

Korzystamy z twierdzenia sinusów. Najkrótszy bok leży oczywiście na przeciwko najmniejszego z kątów, a zatem $45^\circ$ .

$\frac{a}{\sin 45^\circ} =2R$ , więc $a = 2 \cdot R \cdot \sin 45^\circ = 2 \cdot 4 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 4 \sqrt{2}$ .

Zadanie:

Znaleźć kąty trójkąta $ABC$ , w którym $|AB| = \sqrt{6}$ , $|BC| = 3$ , $\alpha = 60^\circ$ - kąt przy wierzchołku $A$ .

Twierdzenie sinusów zadanie

Rozwiązanie:

Miary pozostałych kątów wynoszą $45^\circ$ i $75^\circ$ .

Polecamy również:

Pole trójkąta – trygonometria

Jednym z zastosowań funkcji trygonometrycznych jest ich wykorzystanie do obliczania pola trójkąta, gdy dana jest miara jednego z kątów oraz długości boków przy tym kącie. Więcej »
Twierdzenie cosinusów – dowód, zadania

Drugim z ważnych twierdzeń geometrycznych związanych z funkcjami trygonometrycznymi jest twierdzenie cosinusów, będące uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na trójkąty o dowolnych kątach. Więcej »

Komentarze (0)

Wojna w Libanie

dzięki

• 2022-11-28 16:21:19

Inni bohaterowie

• 2022-11-25 15:27:39

Pierwsze cywilizacje - charakterystyka

super

• 2022-11-24 18:51:50

Styl popularnonaukowy

super, ale czemu nie ma przykładów, żeby można było zobaczyć w praktyce jak to wygl�...

• 2022-11-24 09:46:41

Charakterystyka profesora Dmuchawca

a jak napisać dyskusje na temat opowiadania "kwiat kalafiora"?

• 2022-11-21 19:40:07

Twierdzenie sinusów – dowód, zadania