Twierdzenie sinusów
Jednym z podstawowych wyników z trygonometrii jest tzw. twierdzenie sinusów.
Twierdzenie: W dowolnym trójkącie stosunku długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dowód twierdzenia sinusów
Dowód tego twierdzenia jest następujący (przeprowadzimy tylko dla - dla pozostałych przypadków dowód wyglądałby analogicznie).
Należy rozważyć trzy przypadki - gdy kąt jest kątem ostrym, gdy jest kątem prostym oraz gdy jest kątem rozwartym.
Gdy jestm kątem prostym jego sinus jest równy
, natomiast bok
jest równy średnicy (wniosek z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku) stąd otrzymujemy, że
, zatem twierdzenie jest prawdziwe.
Gdy jestm kątem ostrym konstruujemy drugi trójkąt tak, jak na rysunku.
Trójkąt wyjściowy oznaczamy , następnie zaś wybieramy na okręgu punkt
tak, żeby kąt przy wierzchołku
był kątem prostym. Wówczas dla trójkąta
prawdą będzie, że
A z faktu, że kąty i
są oparte na tym samym łuku ich miary są równe. Ponadto
. Zatem
Co po przekształceniu daje równość .
Gdy jestm kątem rozwartym również posłużymy się trójkątem pomocniczym.
Punkt został na okręgu obrany w taki sposób, by trójkąt
był trójkątem prostokątnym (kąt prosty przy wierzchołku
). Przy tym
, oraz
. Wówczas
Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrągu , zatem
.
Korzystając z odpowiednich wzorów redukcyjnych dla funkcji sinus mamy
Więc ostatecznie
Zatem (po przekształceniu) .
Co kończy dowód.
Zastosowanie
Twierdzenie sinusów bywa przydatne w zastosowaniach geometrycznych, gdy dane mamy tylko niektóre informacje odnośnie trójkąta, a chcemy poznać inne.
Przykład:
Znaleźć długość najkrótszego boku trójkąta o kątach ,
,
wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi
.
Korzystamy z twierdzenia sinusów. Najkrótszy bok leży oczywiście na przeciwko najmniejszego z kątów, a zatem .
, więc
.
Zadanie:
Znaleźć kąty trójkąta , w którym
,
,
- kąt przy wierzchołku
.
Rozwiązanie:
Miary pozostałych kątów wynoszą i
.