Twierdzenie sinusów – dowód, zadania

Twierdzenie sinusów

Jednym z podstawowych wyników z trygonometrii jest tzw. twierdzenie sinusów.

Twierdzenie: W dowolnym trójkącie stosunku długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dowód twierdzenia sinusów

Dowód tego twierdzenia jest następujący (przeprowadzimy tylko dla  - dla pozostałych przypadków dowód wyglądałby analogicznie).

Należy rozważyć trzy przypadki - gdy kąt  jest kątem ostrym, gdy jest kątem prostym oraz gdy jest kątem rozwartym.

Gdy  jestm kątem prostym jego sinus jest równy , natomiast bok  jest równy średnicy (wniosek z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku) stąd otrzymujemy, że , zatem twierdzenie jest prawdziwe.

Gdy  jestm kątem ostrym konstruujemy drugi trójkąt tak, jak na rysunku.

Trójkąt wyjściowy oznaczamy , następnie zaś wybieramy na okręgu punkt  tak, żeby kąt przy wierzchołku  był kątem prostym. Wówczas dla trójkąta  prawdą będzie, że

A z faktu, że kąty  i  są oparte na tym samym łuku ich miary są równe. Ponadto . Zatem

Co po przekształceniu daje równość .

Gdy  jestm kątem rozwartym również posłużymy się trójkątem pomocnicz