Funkcje trygonometryczne można zdefiniować dla dowolnego kąta.
Wymaga to uściślenia pewnych pojęć.
Jeśli nazwiemy ramieniem początkowym kąta ramię zawarte w dodatniej półosi \(OX\), to ramię końcowe tego kąta wyznacza go jednoznacznie.
Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta:
Niech \(P(x,y)\) będzie dowolnym punktem na ramieniu końcowym kąta \( \alpha \), różnym od początku układu współrzędnych. Wówczas funkcje trygonometryczne kąta \( \alpha \) wyznaczone są następująco:
\(\sin \alpha = \frac{y}{r} \)
\(\cos \alpha = \frac{x}{r} \)
\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x} \) \((x \neq 0)\)
\(\operatorname{ctg} = \frac{x}{y} \) \((y \neq 0)\)
gdzie \(r = \sqrt{x^2 + y^2} \).
Przy takiej definicji funkcje trygonometryczne są określone dla dowolnego kąta, o ile wyrażenie po prawej stronie ma sens (tj. gdy mianownik jest różny od zera). Parametr \(r\) wyznaczany jest (z twierdzenia Pitagorasa) jako pierwiastek kwadratów \(x\) i \(y\).
Układ współrzędnych składa się z czterech ćwiartek.
W zależności od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt, jego sinus, cosinus, tangens i cotangens mogą mieć różny znak. Pomocny w zapamiętaniu określoności znaku funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki, w której znajduje się kąt, jest następujący wierszyk:
W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie,
W drugiej tylko sinus.
W trzeciej tangens i cotangens,
A w czwartej cosinus.