Funkcje trygonometryczne można zdefiniować dla dowolnego kąta.
Wymaga to uściślenia pewnych pojęć.
Jeśli nazwiemy ramieniem początkowym kąta ramię zawarte w dodatniej półosi , to ramię końcowe tego kąta wyznacza go jednoznacznie.
Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta:
Niech będzie dowolnym punktem na ramieniu końcowym kąta
, różnym od początku układu współrzędnych. Wówczas funkcje trygonometryczne kąta
wyznaczone są następująco:
gdzie .
Przy takiej definicji funkcje trygonometryczne są określone dla dowolnego kąta, o ile wyrażenie po prawej stronie ma sens (tj. gdy mianownik jest różny od zera). Parametr wyznaczany jest (z twierdzenia Pitagorasa) jako pierwiastek kwadratów
i
.
Układ współrzędnych składa się z czterech ćwiartek.
W zależności od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt, jego sinus, cosinus, tangens i cotangens mogą mieć różny znak. Pomocny w zapamiętaniu określoności znaku funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki, w której znajduje się kąt, jest następujący wierszyk:
W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie,
W drugiej tylko sinus.
W trzeciej tangens i cotangens,
A w czwartej cosinus.