Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta – definicje

Funkcje trygonometryczne można zdefiniować dla dowolnego kąta.

  

Wymaga to uściślenia pewnych pojęć.

Jeśli nazwiemy ramieniem początkowym kąta ramię zawarte w dodatniej półosi \(OX\), to ramię końcowe tego kąta wyznacza go jednoznacznie.

 

 

 

Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta:

Niech \(P(x,y)\) będzie dowolnym punktem na ramieniu końcowym kąta \( \alpha \), różnym od początku układu współrzędnych. Wówczas funkcje trygonometryczne kąta \( \alpha \) wyznaczone są następująco:

\(\sin \alpha = \frac{y}{r} \)

\(\cos \alpha = \frac{x}{r} \)

\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x} \)   \((x \neq 0)\)

\(\operatorname{ctg} = \frac{x}{y} \)   \((y \neq 0)\)

gdzie \(r = \sqrt{x^2 + y^2} \)

 

Przy takiej definicji funkcje trygonometryczne są określone dla dowolnego kąta, o ile wyrażenie po prawej stronie ma sens (tj. gdy mianownik jest różny od zera). Parametr \(r\) wyznaczany jest (z twierdzenia Pitagorasa) jako pierwiastek kwadratów \(x\)\(y\).

 

Układ współrzędnych składa się z czterech ćwiartek.

 

W zależności od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt, jego sinus, cosinus, tangens i cotangens mogą mieć różny znak. Pomocny w zapamiętaniu określoności znaku funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki, w której znajduje się kąt, jest następujący wierszyk:

 

 

W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie,

W drugiej tylko sinus.

W trzeciej tangens i cotangens,

A w czwartej cosinus.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
Brakowało mi rozwinięcia „przyjaciele momo” w bohaterach, ale tak to super.
anonim • 2025-06-16 20:16:00
spoko dostałem 5
anonim • 2025-06-16 18:47:01
fajnie streszcnone bardzo pomocne
anonim • 2025-06-11 15:52:32
fajny
anonim • 2025-06-09 17:45:57
Bardzo fajne interesujący Cy
anonim • 2025-06-01 19:21:22