Podstawowymi wzorami trygonometrycznymi ułatwiającymi obliczenia są funkcje sumy i różnicy kątów.
\(\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
\(\cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
\(\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)
\(\cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
Wzory te umożliwiają policzenie funkcji trygonometrycznych (sinusa i cosinusa, a w połączeniu z podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi również tangensa i cotangensa) dowolnego kąta, o ile kąt ten daje się rozbić na dwa kąty, których wartości funkcji znamy.
Przykład:
\(\cos \frac{5}{12} \pi = \cos ( \frac{3}{12}\pi +\frac{2}{12}\pi ) = \cos ( \frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{6} ) =\)
\( \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6} = \) \( \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{1}{2} = \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \)
Innym zastosowaniem funkcji trygonometrycznych jest zauważenie, że suma (lub różnica) iloczynów może być zapisana w uproszczony sposób.
Przykład:
\(\sin 85^\circ \cdot \cos 25^\circ - \sin 25^\circ \cdot \cos 85^\circ= \sin (85^\circ-25^\circ) = \sin60^\cir\)
Zadanie:
Znaleźć wartość wyrażenia
\(\sin \frac{3}{10} \pi \cdot \cos \frac{1}{5} \pi + \sin \frac{1}{5} \pi \cdot \cos \frac{3}{10}\pi\).
Odpowiedzi:
\(1\).