Tożsamości trygonometryczne – wzory, dowody, przykłady, zadania

W tym dziale

Drukuj: Drukuj
Rozmiar: AAA

Tożsamości trygonometryczne są pewnymi równościami łączącymi ze sobą funkcje trygonometryczne. Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych należą jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens wyrażone przy pomocy sinusa i cosinusa.

$\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} = 1$ (jedynka trygonometryczna)

$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{ctg} x }$ $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x }$

Powyższe tożsamości są prawdziwe dla tych wartości zmiennej $x$ , dla których wyrażenia mają sens (tzn. mianownik jest różny od zera, a funkcja trygonometryczna jest określona).

Wyprowadzenie tych tożsamości jest bardzo proste i dokonuje się go w oparciu o definicje funkcji trygonometrycznych. Przypomnijmy, że gdy mamy w układzie współrzędnych określony kąt $\alpha$ dowolnej miary, funkcje trygonometryczne wyrażają się następująco:

$\sin \alpha = \frac{y}{r}$ , $\cos \alpha = \frac{x}{r}$ , $\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x }$ , $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{x}{y}$ , gdzie $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , przy czym $x$ i $y$ są współrzędnymi w układzie współrzędnych. Przy takiej definicji funkcji otrzymujemy:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{y}{r})^2 + (\frac{x}{r})^2 = \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} =1$ , zatem jedynka trygonometryczna jest tożsamością.

Podobnie wyprowadzić możemy pozostałe tożsamości, np.:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \frac{ \frac{y}{r} }{ \frac{x}{r} } = \frac{y}{x} = \operatorname{tg \alpha }$

Przykład:

Znając powyższe tożsamości możemy sprawdzić, czy tożsamością jest na przykład poniższa równość::

$\sin^2{x} = (1 + \cos x)(1-\cos x)$

$\sin^2{x} = 1 + \cos x -\cos x - \cos^2 x$

$\sin^2x = 1 - \cos^2x$

$\sin^2 + \cos^2 x = 1$

Równość została sprowadzona do postaci jedynki trygonometrycznej, więc jest ona prawdziwa.

Przykład:

$\operatorname{tg x} +1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

$(\frac{\sin x}{\cos x})^2 +1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac {\sin^2 x} {\cos^2 x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac {1} {\cos^2x}$

$\frac{1}{cos^2 x} = \frac{1}{cos^2 x}$

Lewa oraz prawa

Polecamy również:

Miara łukowa kąta – wzór, zadania

Miara łukowa jest jednym ze sposobów określenia miary kąta. W matematyce wyższej, a szczególnie w trygonometrii, jest ona wykorzystywana zdecydowanie częściej niż miara stopniowa. Więcej »
Funkcje sumy i różnicy kątów – wzory, zadania

Podstawowymi wzorami trygonometrycznymi ułatwiającymi obliczenia są funkcje sumy i różnicy kątów. Więcej »
Funkcje podwojonego kąta – wzory, zadania

Z wzorów na funkcje sumy i różnicy kąta wyprowadzić możemy wzory na funkcje podwojonego kąta. Więcej »
Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych – przykłady, zadania

Wzory redukcyjne pozwalają „zredukować” funkcje trygonometryczne dowolnego kąta do wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. Więcej »

Ostatnio dodane
Losowe

Komentarze (0)

Artykuł po angielsku

Chcesz się bezpłatnie nauczyć języka angielskiego? Zgłoś się na kurs języka angiel...

Bezpłatne szkolenia • 2018-07-13 09:15:31

10 przykazań Bożych

@Hasher To zależy już od tłumacza przekładu(Pisma zostały napisane w kilku językach ...

Hgfhfg • 2018-07-09 11:34:37

Gazy szlachetne

andrzej duda • 2018-06-14 10:31:18

Obrady Okrągłego Stołu - postanowienia i skutki

Super na spr.

Evogy • 2018-06-07 17:45:08

Sanktuarium na Jasnej Górze (Częstochowa)

mega

Zuza • 2018-06-06 17:25:41