Tożsamości trygonometryczne są pewnymi równościami łączącymi ze sobą funkcje trygonometryczne. Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych należą jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens wyrażone przy pomocy sinusa i cosinusa.
(jedynka trygonometryczna)
Powyższe tożsamości są prawdziwe dla tych wartości zmiennej , dla których wyrażenia mają sens (tzn. mianownik jest różny od zera, a funkcja trygonometryczna jest określona).
Wyprowadzenie tych tożsamości jest bardzo proste i dokonuje się go w oparciu o definicje funkcji trygonometrycznych. Przypomnijmy, że gdy mamy w układzie współrzędnych określony kąt dowolnej miary, funkcje trygonometryczne wyrażają się następująco:
,
,
,
, gdzie
, przy czym
i
są współrzędnymi w układzie współrzędnych. Przy takiej definicji funkcji otrzymujemy:
, zatem jedynka trygonometryczna jest tożsamością.
Podobnie wyprowadzić możemy pozostałe tożsamości, np.:
Przykład:
Znając powyższe tożsamości możemy sprawdzić, czy tożsamością jest na przykład poniższa równość::
Równość została sprowadzona do postaci jedynki trygonometrycznej, więc jest ona prawdziwa.
Przykład:
Lewa oraz prawa strona równości są takie same, więc jest to tożsamość.
Tożsamości trygonometryczne są szczególnie przydatne do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych, gdy znana jest jedna z nich.
Przykład:
Wiadomo, że oraz
. Znaleźć pozostałe funkcje trygonometryczne.
Na początek należy rozszyfrować informację - a oznacza ona ni mniej, ni więcej niż tyle, że kąt
należy do drugiej ćwiartki. Będzie to miało znaczenie przy określaniu znaków poszczególnych funkcji.
Z jedynki trygonometrycznej, po przekształceniu, wiemy, że
, a ponieważ kąt
leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, toteż
.
Następnie policzmy, że
oraz
.
Zadanie:
1. Wyprowadzić pozostałe tożsamości trygonometryczne podane na początku.
2. Wykazać tożsamość:
a) ,
b) .
3. Znaleźć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli waidomo, że oraz
.
Odpowiedzi:
3. ,
,
.