Tożsamości trygonometryczne – wzory, dowody, przykłady, zadania

Tożsamości trygonometryczne są pewnymi równościami łączącymi ze sobą funkcje trygonometryczne. Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych należą jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens wyrażone przy pomocy sinusa i cosinusa.

$\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} = 1$  (jedynka trygonometryczna)

$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$   $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{ctg} x }$    $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x }$

Powyższe tożsamości są prawdziwe dla tych wartości zmiennej $x$, dla których wyrażenia mają sens (tzn. mianownik jest różny od zera, a funkcja trygonometryczna jest określona).

 

Wyprowadzenie tych tożsamości jest bardzo proste i dokonuje się go w oparciu o definicje funkcji trygonometrycznych. Przypomnijmy, że gdy mamy w układzie współrzędnych określony kąt $\alpha$ dowolnej miary, funkcje trygonometryczne wyrażają się następująco:

$\sin \alpha = \frac{y}{r}$, $\cos \alpha = \frac{x}{r}$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x }$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{x}{y}$, gdzie $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, przy czym $x$ i $y$ są współrzędnymi w układzie współrzędnych. Przy takiej definicji funkcji otrzymujemy:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{y}{r})^2 + (\frac{x}{r})^2 = \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} =1$, zatem jedynka trygonometryczna jest tożsamością.

Podobnie wyprowadzić możemy pozostałe tożsamości, np.:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \frac{ \frac{y}{r} }{ \frac{x}{r} } = \frac{y}{x} = \operatorname{tg \alpha }$

 

Przykład: 

Znając powyższe tożsamości możemy sprawdzić, czy tożsamością jest na przykład poniższa równość::

$\sin^2{x} = (1 + \cos x)(1-\cos x)$

$\sin^2{x} = 1 + \cos x -\cos x - \cos^2 x$

$\sin^2x = 1 - \cos^2x$ 

$\sin^2 + \cos^2 x = 1$

Równość została sprowadzona do postaci jedynki trygonometrycznej, więc jest ona prawdziwa. 

 

Przykład: 

$\operatorname{tg x} +1 = \frac{1}{\cos^2 x}$ 

$(\frac{\sin x}{\cos x})^2 +1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac {\sin^2 x} {\cos^2 x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac {1} {\cos^2x}$ 

$\frac{1}{cos^2 x} = \frac{1}{cos^2 x}$ 

Lewa oraz prawa strona równości są takie same, więc jest to tożsamość.

 

Tożsamości trygonometryczne są szczególnie przydatne do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych, gdy znana jest jedna z nich.

 

Przykład:

Wiadomo, że $\sin x = \frac3 5$ oraz $x \in(\frac\pi 2;\pi)$. Znaleźć pozostałe funkcje trygonometryczne.

 

Na początek należy rozszyfrować informację $x \in(\frac\pi 2;\pi)$ - a oznacza ona ni mniej, ni więcej niż tyle, że kąt $x$ należy do drugiej ćwiartki. Będzie to miało znaczenie przy określaniu znaków poszczególnych funkcji.

Z jedynki trygonometrycznej, po przekształceniu, wiemy, że

$\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} = \pm \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2 } = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = \pm \sqrt{ \frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$, a ponieważ kąt $x$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, toteż $\cos x = -\frac4 5$.

 

Następnie policzmy, że

$\operatorname{tg x} = \frac {\sin x} {\cos x} = \frac{ \frac{3}{5} }{ -\frac{4}{5} } = - \frac{3}{4}$

oraz

$\operatorname{ctg x} = \frac {1} {\operatorname{tg x}} = - \frac{4}{3}$.

 

Zadanie:

1. Wyprowadzić pozostałe tożsamości trygonometryczne podane na początku.

2. Wykazać tożsamość:

a) $(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 2$,

b) $\cos x + \operatorname { tg^2 x} \cdot \cos x= \frac{1}{cos x}$.

3. Znaleźć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli waidomo, że $\operatorname {ctg x } = \frac{- \sqrt{15} }{15}$ oraz $x \in (\frac \pi 2;\pi)$.

 

Odpowiedzi:

3. $\sin x = \frac{ \sqrt{15} }{4}$, $\cos x = - \frac{1}{4}$, $\operatorname {tg x } = - \sqrt {15}$.