Tożsamości trygonometryczne są pewnymi równościami łączącymi ze sobą funkcje trygonometryczne. Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych należą jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens wyrażone przy pomocy sinusa i cosinusa.
\(\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} = 1\) (jedynka trygonometryczna)
\(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
\(\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{ctg} x } \) \(\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x } \)
Powyższe tożsamości są prawdziwe dla tych wartości zmiennej \(x\), dla których wyrażenia mają sens (tzn. mianownik jest różny od zera, a funkcja trygonometryczna jest określona).
Wyprowadzenie tych tożsamości jest bardzo proste i dokonuje się go w oparciu o definicje funkcji trygonometrycznych. Przypomnijmy, że gdy mamy w układzie współrzędnych określony kąt \( \alpha \) dowolnej miary, funkcje trygonometryczne wyrażają się następująco:
\(\sin \alpha = \frac{y}{r} \), \(\cos \alpha = \frac{x}{r}\), \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x } \), \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{x}{y} \), gdzie \(r = \sqrt{x^2 + y^2} \), przy czym \(x\) i \(y\) są współrzędnymi w układzie współrzędnych. Przy takiej definicji funkcji otrzymujemy:
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{y}{r})^2 + (\frac{x}{r})^2 = \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} =1\), zatem jedynka trygonometryczna jest tożsamością.
Podobnie wyprowadzić możemy pozostałe tożsamości, np.:
\( \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \frac{ \frac{y}{r} }{ \frac{x}{r} } = \frac{y}{x} = \operatorname{tg \alpha }\)
Przykład:
Znając powyższe tożsamości możemy sprawdzić, czy tożsamością jest na przykład poniższa równość::
\(\sin^2{x} = (1 + \cos x)(1-\cos x)\)
\(\sin^2{x} = 1 + \cos x -\cos x - \cos^2 x\)
\(\sin^2x = 1 - \cos^2x\)
\(\sin^2 + \cos^2 x = 1\)
Równość została sprowadzona do postaci jedynki trygonometrycznej, więc jest ona prawdziwa.
Przykład:
\(\operatorname{tg x} +1 = \frac{1}{\cos^2 x} \)
\((\frac{\sin x}{\cos x})^2 +1 = \frac{1}{\cos^2 x} \)
\(\frac {\sin^2 x} {\cos^2 x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2 x}\)
\( \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac {1} {\cos^2x}\)
\(\frac{1}{cos^2 x} = \frac{1}{cos^2 x}\)
Lewa oraz prawa strona równości są takie same, więc jest to tożsamość.
Tożsamości trygonometryczne są szczególnie przydatne do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych, gdy znana jest jedna z nich.
Przykład:
Wiadomo, że \(\sin x = \frac3 5\) oraz \(x \in(\frac\pi 2;\pi)\). Znaleźć pozostałe funkcje trygonometryczne.
Na początek należy rozszyfrować informację \(x \in(\frac\pi 2;\pi)\) - a oznacza ona ni mniej, ni więcej niż tyle, że kąt \(x\) należy do drugiej ćwiartki. Będzie to miało znaczenie przy określaniu znaków poszczególnych funkcji.
Z jedynki trygonometrycznej, po przekształceniu, wiemy, że
\(\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} = \pm \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2 } = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = \pm \sqrt{ \frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \), a ponieważ kąt \(x\) leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, toteż \(\cos x = -\frac4 5\).
Następnie policzmy, że
\(\operatorname{tg x} = \frac {\sin x} {\cos x} = \frac{ \frac{3}{5} }{ -\frac{4}{5} } = - \frac{3}{4} \)
oraz
\(\operatorname{ctg x} = \frac {1} {\operatorname{tg x}} = - \frac{4}{3} \).
Zadanie:
1. Wyprowadzić pozostałe tożsamości trygonometryczne podane na początku.
2. Wykazać tożsamość:
a) \((\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 2\),
b) \(\cos x + \operatorname { tg^2 x} \cdot \cos x= \frac{1}{cos x} \).
3. Znaleźć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli waidomo, że \(\operatorname {ctg x } = \frac{- \sqrt{15} }{15} \) oraz \(x \in (\frac \pi 2;\pi)\).
Odpowiedzi:
3. \(\sin x = \frac{ \sqrt{15} }{4} \), \(\cos x = - \frac{1}{4} \), \(\operatorname {tg x } = - \sqrt {15}\).