Wzory redukcyjne pozwalają „zredukować” funkcje trygonometryczne dowolnego kąta do wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego (z przedziału \([0;\frac \pi 2)\)).
Korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów (bądź z własności wykresów funkcji) wyprowadzić można następujące wzory:\(\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos \alpha\)
\(\cos(\frac \pi 2 + \alpha) = - \sin \alpha\)
\(\operatorname{tg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha\)
\(\operatorname{ctg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{tg } \alpha\)
Dowód (tego, że \(\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos \alpha\)):
\(\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \sin \frac \pi 2\cos \alpha + \cos \frac \pi 2\sin \alpha = 1 \cdot \cos \alpha + 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha\)
Podobnie udowodnić można wzór dla cosinusa.
Dowód (dla wzoru \(\operatorname{tg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha\)):
\(\operatorname {tg} (\frac \pi 2 + \alpha ) = \frac{\sin (\frac \pi 2 + \alpha )}{\cos (\frac \pi 2+ \alpha )} = \frac{\cos \alpha }{- \sin \alpha} = -\operatorname {ctg} \alpha \)
Podobnie dowodzi się wzoru dla cotangensa.
Wprost z wykresów funkcji trygonometrycznych (i z podstawowych własności tych funkcji) wynikają następujące wzory:\(\sin(\pi + \alpha) = - \sin \alpha\) \(\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha\)
\(\cos(\pi + \alpha) = - \cos \alpha\) \(\cos(\pi - \alpha) = - \cos \alpha\)
\(\operatorname{tg }( \pi + \alpha) = \operatorname{tg } \alpha\) \(\operatorname{tg }( \pi - \alpha) = - \operatorname{tg } \alpha\)
\(\operatorname{ctg }( \pi + \alpha) = \operatorname{ctg } \alpha\) \(\operatorname{ctg }( \pi - \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha\)
Powyższe wzory można także wyprowadzić korzystając z wzorów na sinus i cosinus sumy.
Wzory redukcyjne są wykorzystywane do obliczania wartości funkcji kąta innego niż ostry.
Przykład:
\(\cos \frac{4}{3} \pi = \cos (\pi +\frac{\pi}{3} ) = - \cos \frac{\pi}{3} = - \frac{1}{2} \)
Zadania:
Obliczyć:
a) \(\sin225^\circ\),
b) \(\operatorname {ctg} (-210^\circ)\),
c) \(\cos \frac{3}{4} \pi\).
Odpowiedzi:
a) \(- \frac{ \sqrt{2} }{2} \),
b) \(- \sqrt{3} \)
c) \(- \frac{ \sqrt{2} }{2} \).