1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych

Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych – przykłady, zadania

 

Wzory redukcyjne pozwalają „zredukować” funkcje trygonometryczne dowolnego kąta do wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego (z przedziału [0;\frac \pi 2)).

 

Korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów (bądź z własności wykresów funkcji) wyprowadzić można następujące wzory:\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos \alpha

\cos(\frac \pi 2 + \alpha) = - \sin \alpha

\operatorname{tg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha

\operatorname{ctg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{tg } \alpha

Dowód (tego, że \sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos \alpha):

\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \sin \frac \pi 2\cos \alpha + \cos \frac \pi 2\sin \alpha = 1 \cdot \cos \alpha + 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha

Podobnie udowodnić można wzór dla cosinusa.

 

Dowód (dla wzoru \operatorname{tg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha):

\operatorname {tg} (\frac \pi 2 + \alpha ) = \frac{\sin (\frac \pi 2 + \alpha )}{\cos (\frac \pi 2+ \alpha )} = \frac{\cos \alpha }{- \sin \alpha} = -\operatorname {ctg} \alpha  

Podobnie dowodzi się wzoru dla cotangensa.

Wprost z wykresów funkcji trygonometrycznych (i z podstawowych własności tych funkcji) wynikają następujące wzory:\sin(\pi + \alpha) = - \sin \alpha    \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha

\cos(\pi + \alpha) = - \cos \alpha   \cos(\pi - \alpha) = - \cos \alpha

\operatorname{tg }( \pi + \alpha) = \operatorname{tg } \alpha         \operatorname{tg }( \pi - \alpha) = - \operatorname{tg } \alpha

\operatorname{ctg }( \pi + \alpha) = \operatorname{ctg } \alpha     \operatorname{ctg }( \pi - \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha

Powyższe wzory można także wyprowadzić korzystając z wzorów na sinus i cosinus sumy.

 

Wzory redukcyjne są wykorzystywane do obliczania wartości funkcji kąta innego niż ostry.

 

Przykład:

\cos \frac{4}{3} \pi = \cos (\pi +\frac{\pi}{3} ) = - \cos \frac{\pi}{3} = - \frac{1}{2}

 

Zadania:

Obliczyć: 

a) \sin225^\circ,

b) \operatorname {ctg} (-210^\circ),

c) \cos \frac{3}{4} \pi.

 

Odpowiedzi:

a) - \frac{ \sqrt{2} }{2} ,

b) - \sqrt{3}

c) - \frac{ \sqrt{2} }{2} .

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
Legiony Polskie we Włoszech (1797)
ok
• 2024-06-05 13:52:17