1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Funkcje podwojonego kąta

Funkcje podwojonego kąta – wzory, zadania

Bezpośrednio z wzorów na funkcje sumy i różnicy kąta wyprowadzić możemy wzory na funkcje podwojonego kąta.

 

\sin2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha

\cos2 \alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha

 

Wyprowadzenie:

Wyprowadzimy wzór na sinus podwojonego kąta.

W tym celu skorzystamy z wzoru \sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .

 

\sin(2 \alpha ) = \sin( \alpha + \alpha ) = \sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha

 

Podobnie wyprowadzić można wzór na cosinus podwojonego kąta. 

 

Inną wersją wzoru na cosinus podwojonego kąta (wynikającą z tożsamości zwanej jedynką trygonometryczną) jest wzór

 

\cos2 \alpha =2\cos^2 \alpha -1

 

Cosinus podwojonego kąta wyrażony w takiej postaci umożliwia znajdowanie wartości funkcji cosinus kąta wyjściowego gdy znamy cosinus podwojonego kąta.

 

Przykład:

Wiedząc, że  \alpha należy do pierwszej ćwiartki, a \cos2 \alpha = \frac{2}{5} podaj \cos \alpha .

 

Wychodzimy od tego co jest wiadome:

\cos2 \alpha = \frac{2}{5} = 2\cos^2{ \alpha } - 1

Więc po przekształceniu

2\cos^2{ \alpha } = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}

\cos^2{\alpha} = \frac{7}{10}

Stąd \cos{\alpha} = \sqrt{ \frac{7}{10} } lub \cos{\alpha} = -\sqrt{ \frac{7}{10} } , ale wiemy, że  \alpha jest kątem ostrym (należy do pierwszej ćwiartki), więc jego cosinus jest dodatni. Ostatecznie więc

\cos{\alpha} = \sqrt{ \frac{7}{10} }. 

 

Zadania:

1. Wyprowadzić wzór na cosinus podwojonego kąta.

2.  Wiedząc, że  \alpha należy jest kątem z drugiej ćwiartki oraz \cos2 \alpha = \frac{1}{4}  znaleźć \cos \alpha .

 

Odpowiedzi:

2. \cos{\alpha} = - \frac{ \sqrt{ 10}}{4}

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
Legiony Polskie we Włoszech (1797)
ok
• 2024-06-05 13:52:17