Funkcje podwojonego kąta – wzory, zadania

Bezpośrednio z wzorów na funkcje sumy i różnicy kąta wyprowadzić możemy wzory na funkcje podwojonego kąta.

 

$\sin2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos2 \alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha$

 

Wyprowadzenie:

Wyprowadzimy wzór na sinus podwojonego kąta.

W tym celu skorzystamy z wzoru $\sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$.

 

$\sin(2 \alpha ) = \sin( \alpha + \alpha ) = \sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

 

Podobnie wyprowadzić można wzór na cosinus podwojonego kąta. 

 

Inną wersją wzoru na cosinus podwojonego kąta (wynikającą z tożsamości zwanej jedynką trygonometryczną) jest wzór

 

$\cos2 \alpha =2\cos^2 \alpha -1$

 

Cosinus podwojonego kąta wyrażony w takiej postaci umożliwia znajdowanie wartości funkcji cosinus kąta wyjściowego gdy znamy cosinus podwojonego kąta.

 

Przykład:

Wiedząc, że $\alpha$ należy do pierwszej ćwiartki, a $\cos2 \alpha = \frac{2}{5}$ podaj $\cos \alpha$.

 

Wychodzimy od tego co jest wiadome:

$\cos2 \alpha = \frac{2}{5} = 2\cos^2{ \alpha } - 1$

Więc po przekształceniu

$2\cos^2{ \alpha } = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$

$\cos^2{\alpha} = \frac{7}{10}$

Stąd $\cos{\alpha} = \sqrt{ \frac{7}{10} }$ lub $\cos{\alpha} = -\sqrt{ \frac{7}{10} }$, ale wiemy, że $\alpha$ jest kątem ostrym (należy do pierwszej ćwiartki), więc jego cosinus jest dodatni. Ostatecznie więc

$\cos{\alpha} = \sqrt{ \frac{7}{10} }$. 

 

Zadania:

1. Wyprowadzić wzór na cosinus podwojonego kąta.

2.  Wiedząc, że $\alpha$ należy jest kątem z drugiej ćwiartki oraz $\cos2 \alpha = \frac{1}{4}$ znaleźć $\cos \alpha$.

 

Odpowiedzi:

2. $\cos{\alpha} = - \frac{ \sqrt{ 10}}{4}$