Bezpośrednio z wzorów na funkcje sumy i różnicy kąta wyprowadzić możemy wzory na funkcje podwojonego kąta.
\(\sin2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \)
\(\cos2 \alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha \)
Wyprowadzenie:
Wyprowadzimy wzór na sinus podwojonego kąta.
W tym celu skorzystamy z wzoru \(\sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \).
\(\sin(2 \alpha ) = \sin( \alpha + \alpha ) = \sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
Podobnie wyprowadzić można wzór na cosinus podwojonego kąta.
Inną wersją wzoru na cosinus podwojonego kąta (wynikającą z tożsamości zwanej jedynką trygonometryczną) jest wzór
\(\cos2 \alpha =2\cos^2 \alpha -1\)
Cosinus podwojonego kąta wyrażony w takiej postaci umożliwia znajdowanie wartości funkcji cosinus kąta wyjściowego gdy znamy cosinus podwojonego kąta.
Przykład:
Wiedząc, że \( \alpha \) należy do pierwszej ćwiartki, a \(\cos2 \alpha = \frac{2}{5} \) podaj \(\cos \alpha \).
Wychodzimy od tego co jest wiadome:
\(\cos2 \alpha = \frac{2}{5} = 2\cos^2{ \alpha } - 1\)
Więc po przekształceniu
\(2\cos^2{ \alpha } = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5} \)
\(\cos^2{\alpha} = \frac{7}{10} \)
Stąd \(\cos{\alpha} = \sqrt{ \frac{7}{10} }\) lub \(\cos{\alpha} = -\sqrt{ \frac{7}{10} } \), ale wiemy, że \( \alpha \) jest kątem ostrym (należy do pierwszej ćwiartki), więc jego cosinus jest dodatni. Ostatecznie więc
\(\cos{\alpha} = \sqrt{ \frac{7}{10} }\).
Zadania:
1. Wyprowadzić wzór na cosinus podwojonego kąta.
2. Wiedząc, że \( \alpha \) należy jest kątem z drugiej ćwiartki oraz \(\cos2 \alpha = \frac{1}{4} \) znaleźć \(\cos \alpha \).
Odpowiedzi:
2. \(\cos{\alpha} = - \frac{ \sqrt{ 10}}{4} \)