Funkcje podwojonego kąta – wzory, zadania

Bezpośrednio z wzorów na funkcje sumy i różnicy kąta wyprowadzić możemy wzory na funkcje podwojonego kąta.

 

\sin2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha

\cos2 \alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha

 

Wyprowadzenie:

Wyprowadzimy wzór na sinus podwojonego kąta.

W tym celu skorzystamy z wzoru \sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .

 

\sin(2 \alpha ) = \sin( \alpha +  \alpha  ) = \sin \alpha \cos \alpha  +\cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin  \alpha \cos  \alpha

 

Podobnie wyprowadzić można wzór na cosinus podwojonego kąta. 

 

Inną wersją wzoru na cosinus podwojonego kąta (wynikającą z tożsamości zwanej jedynką trygonometryczną) jest wzór

 

\cos2 \alpha =2\cos^2 \alpha -1

 

Cosinus podwojonego kąta wyrażony w takiej postaci umożliwia znajdowanie wartości funkcji cosinus kąta wyjściowego gdy znamy cosinus podwojonego kąta.

 

Przykład:

Wiedząc, że  \alpha należy do pierwszej ćwiartki, a \cos2 \alpha = \frac{2}{5} podaj \cos \alpha .

 

Wychodzimy od tego co jest wiadome:

\cos2 \alpha = \frac{2}{5} = 2\cos^2{ \alpha } - 1

Więc po przekształceniu

2\cos^2{ \alpha } =  \frac{2}{5} + 1 =  \frac{7}{5}

\cos^2{\alpha} =  \frac{7}{10}

Stąd \cos{\alpha} =   \sqrt{ \frac{7}{10} } lub \cos{\alpha} =   -\sqrt{ \frac{7}{10} } , ale wiemy, że  \alpha jest kątem ostrym (należy do pierwszej ćwiartki), więc jego cosinus jest dodatni. Ostatecznie więc

\cos{\alpha} =   \sqrt{ \frac{7}{10} }

 

Zadania:

1. Wyprowadzić wzór na cosinus podwojonego kąta.

2.  Wiedząc, że  \alpha należy jest kątem z drugiej ćwiartki oraz \cos2 \alpha = \frac{1}{4}  znaleźć \cos \alpha .

 

Odpowiedzi:

2. \cos{\alpha} =   - \frac{ \sqrt{ 10}}{4}

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 1 =
Ostatnio komentowane
Lol
XD • 2021-02-28 13:01:16
XD
lol • 2021-02-28 10:48:34
lubie placki
smn44 • 2021-02-27 16:10:55
Fajne.
Moper • 2021-02-27 14:21:53
dfghjk
zhjbh • 2021-02-27 13:45:38