Miara łukowa jest jednym ze sposobów określenia miary kąta. W matematyce wyższej, a szczególnie w trygonometrii, jest ona wykorzystywana zdecydowanie częściej niż miara stopniowa.
Do wyznaczenia miary łukowej kąta \( \alpha \) dobrze jest wyobrazić sobie fragment okręgu (dowolnego) o środku w wierzchołku tego kąta. Promień okręgu oznaczymy przez \(r\), zaś łuk, jaki ten kąt wyznacza - przez \(l\).
Jednostką kąta w mierze łukowej jest radian - ozn. \([rad]\), choć często samo oznaczenie będziemy pomijać (wówczas, gdy wynika ono z kontekstu).
\(1 [rad] = \frac{360^\circ}{2 \pi} = \frac{180^\circ}{ \pi}\)
Zatem \(180^\circ = \pi [rad]\), oraz
\(1^\circ = \frac{\pi}{180} [rad]\)
Dzięki powyższym informacjom możliwa jest zamiana każdego kąta podanego w stopniach na radiany i odwrotnie.
Przykład:
Podaj miarę łukową kąta \(90^\circ\).
\(90^\circ = 90 \cdot 1^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} [rad] = \frac{\pi}{2} \) (jednostkę pomijamy).
Podaj miarę kąta \( \frac{2 \pi}{3} \)w stopniach.
\( \frac{2 \pi}{3} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ\)
Zadania:
1. Podaj miarę łukową kąta:
a) \(30^\circ\),
b) \(45^\circ\),
c) \(270^\circ\).
2. Podaj miarę stopniową kąta:
a) \( \frac{\pi}{3} \),
b) \( \frac{\pi}{8} \),
c) \( \frac{4}{5}\pi \).
Odpowiedzi:
1.
a) \( \frac{\pi}{6} \),
b) \( \frac{\pi}{4} \),
c) \( \frac{3}{2} \pi\).
2.
a) \(60^\circ\),
b) \(22,5^\circ\),
c) \(144^\circ\).