Dopełnienie

Dopełnienie jest specyficznym zbiorem liczbowym. Dany zbiór liczbowy wraz ze swoim dopełnieniem tworzą całą przestrzeń. 

Def.: Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni X nazywamy zbiór wszystkich tych elementów przestrzeni X, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy A'.

Formalnie: x \in A'  \Leftrightarrow x  \notin A.

 

Przykład:

Jeśli rozpatrujemy zbiory w przestrzeni liczb naturalnych, to dopełnieniem zbioru liczb parzystych będą liczby nieparzyste.

Jeśli rozpatrujemy zbiory w przestrzeni liczb całkowitych, to dopełnieniem zbioru liczb dodatnich będą liczby ujemne wraz z zerem.

W przestrzeni liczb naturalnych dopełnieniem zbioru Y = 
\left \{y \in \mathbb{N} :\forall_{k \in \mathbb{N}}: y = 2^{k}  \right \} będzie zbiór tych liczb naturalnych, które nie są potęgami 2.

 

Warto zauważyć, że A  \cap A' = \emptyset oraz A  \cup A' = X - przecięcie zbioru i jego dopełnienia jest zawsze zbiorem pustym, natomiast suma zbioru i jego dopełnienia daje całą przestrzeń.

 

Zadania:

Podać dopełnienia (w przestrzeni liczb naturalnych) następujących zbiorów:

a) A = 
\left \{x \in \mathbb{N} :\forall_{k \in \mathbb{N}}: x = 3^{k}  \right \},

b) B = 
\left \{2, 3, 4 \right \},

c) \emptyset.

 

Odpowiedzi:

a) Zbiór liczb niebędących potęgami liczby 3,

b) B' = 
\left \{1,5,6,7,8,... \right \}

c) \mathbb{N}

Polecamy również:

Komentarze (1)
Wynik działania 3 + 1 =
Mikołaj
2024-05-01 04:47:50
Matematyka jest uprawiana na całym świecie. Uczniowie i studenci jeżdżą na wymiany naukowe po całym globie. Uczą się języków obcych. Czego nie można powiedzieć o wielu nauczycielach,którzy z języków znają zazwyczaj wszyscy jedynie polski i... polski. Nie inaczej jest z autorem powyższego hasła encyklopedycznego, który zapewne nie przeczytał w życiu ( a na pewno nie posługuje się na co dzień) żadnego podręcznika teorii mnogości w językach obcych. Gdyby tak było, to w tekście hasła znalazłaby się informacja, że BARDZO CZĘSTO, w literaturze światowej przedmiotu, dopełnienie zbioru oznacza się także poziomą kreską nad nad nazwą odnośnego zbioru, bądź też indeksem górnym w postaci litery "c" ( czyli w miejscu zajmowanym przez zwyczajowy "prim") lub nawet takimże indeksem stawianym p r z e d nazwą zbioru. Dlaczego polscy uczący są tacy zaściankowi!?
Ostatnio komentowane
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42
Mógłby być jeszcze do tego cały utwór napisany.
• 2024-06-03 19:41:43