Dopełnienie jest specyficznym zbiorem liczbowym. Dany zbiór liczbowy wraz ze swoim dopełnieniem tworzą całą przestrzeń.
Def.: Dopełnieniem zbioru \(A\) z przestrzeni \(X\) nazywamy zbiór wszystkich tych elementów przestrzeni \(X\), które nie należą do zbioru \(A\). Dopełnienie zbioru \(A\) oznaczamy \(A'\).
Formalnie: \(x \in A' \Leftrightarrow x \notin A\).
Przykład:
Jeśli rozpatrujemy zbiory w przestrzeni liczb naturalnych, to dopełnieniem zbioru liczb parzystych będą liczby nieparzyste.
Jeśli rozpatrujemy zbiory w przestrzeni liczb całkowitych, to dopełnieniem zbioru liczb dodatnich będą liczby ujemne wraz z zerem.
W przestrzeni liczb naturalnych dopełnieniem zbioru \(Y = \left \{y \in \mathbb{N} :\forall_{k \in \mathbb{N}}: y = 2^{k} \right \}\) będzie zbiór tych liczb naturalnych, które nie są potęgami 2.
Warto zauważyć, że \(A \cap A' = \emptyset\) oraz \(A \cup A' = X\) - przecięcie zbioru i jego dopełnienia jest zawsze zbiorem pustym, natomiast suma zbioru i jego dopełnienia daje całą przestrzeń.
Zadania:
Podać dopełnienia (w przestrzeni liczb naturalnych) następujących zbiorów:
a) \(A = \left \{x \in \mathbb{N} :\forall_{k \in \mathbb{N}}: x = 3^{k} \right \}\),
b) \(B = \left \{2, 3, 4 \right \}\),
c) \(\emptyset\).
Odpowiedzi:
a) Zbiór liczb niebędących potęgami liczby 3,
b) \(B' = \left \{1,5,6,7,8,... \right \}\)
c) \(\mathbb{N}\).