Część wspólna zbiorów to zbiór zawierający elementy należące jednocześnie do obu tych zbiorów.
Def.: Zbiór \(A \cap B\) nazywamy częścią wspólną zbiorów \(A\) i \(B\) wtedy i tylko wtedy, gdy należy do niego te (i tylko te) elementy, które należą jednocześnie do zbioru \(A\) i do zbioru \(B\).
Formalnie: \(x \in A \cap B \Leftrightarrow \forall {x} (x \in A \wedge x \in B)\).
Część wspólna dwóch zbiorów bywa także nazywana ich przecięciem.
Przykład:
Część wspólna zbiorów \(A = \left \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \right \}\) i \(B = \left \{2, 3, 5, 7, 11, ... \right \}\) to zbiór \(A \cap B = \left \{2, 3, 5, 7 \right \}\).
Dla wielu zbiorów ich część wspólna będzie zbiorem pustym - na przykład część wspólna zbioru liczb dodatnich i zbioru liczb ujemnych jest zbiorem pustym.
Zadanie:
Dane są zbiory \(A = \left \{1, 3, 5, 7, 9 \right \}\), \(B = \left \{x \in \mathbb{N}:\forall_{k \in \mathbb{N}}: x = 3^{k} \right \}\), \(C = \left \{y \in \mathbb{N} :\forall_{k \in \mathbb{N}}:y= 2^{k} \right \}\), \(D = \mathbb{N}\) .
Podać następujące przecięcia:
a) \(A \cap B\),
b) \(A \cap C\),
c) \(A \cap D\),
d) \(B \cap C\) .
Odpowiedzi:
a) \(A \cap B = \left \{3,9 \right \}\),
b) \(\emptyset\),
c) \(A\),
d) \(\emptyset\).