Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów to zbiór zawierający pary elementów należących do obu tych zbiorów.
Definicja
Iloczynem kartezjańskim zbiorów \(A\) i \(B\) nazywamy zbiór \(A \times B = \{ (x,y): x \in A,y \in B \}\), a zatem jest to zbiór par, których pierwszy element jest ze zbioru \(A\), drugi - ze zbioru \(B\).
Nazwa tego pojęcia nawiązuje do kartezjańskiego układu współrzędnych, którego obrazem jest para skrzyżowanych ze sobą osi (oznaczanych \(x\) oraz \(y\)). Zbiór punktów kartezjańskiego układu współrzędnych to w istocie iloczyn kartezjański - są to uporządkowane pary, których pierwsza składowa jest współrzędną odnoszącą się do pierwszej osi, druga - drugiej.
Przykład
Jeśli \(A= \{a,b\}\) oraz \(B=\{c,d\}\) to \(A \times B = \{(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)\}\).
Kolejność zbiorów
W przypadku iloczynu kartezjańskiego ma znaczenie kolejność rozważanych zbiorów, czym innym zatem będzie \(X \times Y\) a czym innym \(Y \times X\) (wyłączając szczególny przypadek gdy \(X\) i \(Y\) są tym samym zbiorem).
Przykład
Iloczynem kartezjańskim zbiorów \(\{ 1,2,3\}\) i \(\{ 1,2\}\) będzie zbiór \(\{ (1,1), (1,2) ,(2,1),(2,2), (3,1),(3,2)\}\).
Iloczynem kartezjańskim zbiorów \(\{ 1,2\}\) i \(\{ 1,2,3\}\) będzie zbiór \(\{ (1,1), (1,2) ,(1,3),(2,1), (2,2),(2,3)\}\).
Iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów
Zdefiniowanie iloczynu kartezjańskiego więcej niż dwóch zbiorów również jest możliwe. Mamy wówczas do czynienia ze zbiorem, którego pierwszy element należy do pierwszego zbioru rozważanego iloczynu, drugi do drugiego, itd., aż po n-ty element, należący do n-tego zbioru, gdzie n to liczba zbiorów, których iloczyn bierzemy.
W szczególności rozważanymi zbiorami mogą być zbiory liczbowe: liczby rzeczywiste, całkowite, naturalne, itd.
Przykład
Iloczyn kartezjański trzech zbiorów liczb rzeczywistych to przestrzeń trójwymiarowa (punkty tej przestrzeni mogą mieć dowolne współrzędne rzeczywiste).
Iloczyn kartezjański stu zbiorów liczb całkowitych to zbiór ciągów stu-wyrazowych, których kolejne wyrazy są liczbami dowolnymi całkowitymi.