Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji wielu zmiennych możemy zdefiniować pochodne. Ze względu na to, że mamy tutaj do czynienia z funkcjami więcej niż jednej zmiennej, pochodne te można liczyć po wszystkich tych zmiennych. Pochodna policzona w ten sposób nazywana jest pochodną cząstkową.
Definicja:
Niech na \(D\) będzie określona funkcja \(n\) zmiennych \(f(x_1,x_2,...,x_n)\), \((x_1,x_2,...,x_n)\in D \subset \mathbb{R}^n\).
Pochodną cząstkową I rzędu funkcji \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) względem zmiennej \(x_i\) (oznaczenie: \( \frac{ \partial f}{ \partial x_i}\)) nazywamy pochodną
\( \frac{ \partial f}{ \partial x_i} = f'_{x_i}(x_1,x_2,...,x_n)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1,x_2,...x_i+h,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)}{h} \).
A zatem jest to zwykła pochodna funkcji \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) traktowanej jako funkcja zmiennej \(x_i\), w której pozostałe zmienne traktowane są jako stałe.
Przykład:
Rozważmy funkcję trzech zmiennych \(f(x,y,z)=3x^3z-xz^4+4y^2z^6-z^5-5y+2\).
Znajdziemy jej pochodne cząstkowe po każdej ze zmiennych:
\(f_{x}'=3z \cdot 3x^2-z^4 \cdot 1+0=9x^2z-z^4\)
\(f_{y}'=0+4z^6 \cdot 2y-0-5=8yz^6-5\)
\(f_{z}'=3x^3 \cdot 1-x \cdot 4z^3+4y^2 \cdot 6z^5-5z^4+0= 3x^3-4xz^3+24y^2z^5-5z^4\)
Z pojęciem pochodnej cząstkowej związane jest pojęcie gradientu funkcji. Gradient jest wektorem pochodnych cząstkowych po wszystkich zmiennych.
Definicja:
Gradientem funkcji \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) w punkcie \((x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)\in \mathbb{R}^n\) nazywamy wektor
\(\nabla f(x^0)=(f_{x_1}'(x^0),f_{x_2}'(x^0),...,f_{x_n}'(x^0))\).
Przykład:
Znajdziemy gradient funkcji \(f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y} \) w punkcie \(x^0=(0,1)\).
Policzmy najpierw pochodne cząstkowe. W tym celu przekształćmy funkcję dla łatwiejszych obliczeń:
\(f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y} = \arcsin (x \cdot y^{-1})\)
Pochodne cząstkowe mają postać:
\(f_x'= \frac{y^{-1} \cdot 1}{ \sqrt{1- (\frac{x}{y}) ^2} } = \frac{y^{-1} }{ \sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2} } }= \frac{1 }{ \sqrt{y^2-x^2}} = ( \sqrt{y^2-x^2}) ^{-1} \)
\(f_y'= \frac{x \cdot (-y^{-2})}{ \sqrt{1- (\frac{x}{y}) ^2} } = \frac{-x \cdot y^{-2} }{ \sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2} } }= \frac{-x }{ \sqrt{y^2-x^2}} \)
Teraz wyliczamy wartość pochodnych cząstkowych w punkcie \(x^0=(0,1)\), otrzymując
\(f_x'(0,1)= ( \sqrt{1^2-0^2}) ^{-1}=1 \)
\(f_y'(0,1)= \frac{-0}{1} =0\)
A zatem gradient funkcji \(f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y} \) w punkcie \(x^0=(0,1)\) to wektor \(\nabla f(0,1)=(1,0)\).
Możemy zdefiniować także pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Poniżej definicja pochodnej cząstkowej II rzędu funkcji dwóch zmiennych.
Definicja:
Niech dana będzie funkcja \(f(x,y)\) taka, że istnieją \(f^'_x(x,y)\), \(f^'_y(x,y)\). Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe z tych pochodnych to nazywamy je pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji \(f(x,y)\).
\(f^{''}_{xx}= \frac{ \partial ^2f}{ \partial x^2} \)
\(f^{''}_{yy}= \frac{ \partial ^2f}{ \partial yy^2} \)
\(f^{''}_{xy}= f^{''}_{yx}= \frac{ \partial ^2f}{ \partial xy} \)
Przykład:
Policzymy pochodne cząstkowe II rzędu dla funkcji \(f(x,y)=x^3 \ln y\).
W tym celu wyznaczamy najpierw pochodne I rzędu:
\(f^'_x=\ln y \cdot 3x^2= 3x^2 \ln y\)
\(f_y^'=x^3 \cdot \frac{1}{y} =x^3 y^{-1}\)
Teraz liczymy pochodne po tych pochodnych:
\(f^{''}_{xx}=3\ln y \cdot 2x=6x \ln y\)
\(f^{''}_{xx}=x^3 \cdot (-y^{-2})=-x^3y^{-2}= \frac{-x^3}{y^2} \)
\(f^{''}_{xy}=f^{''}_{yx}=3x^2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3x^2}{y} \)