1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Pochodne cząstkowe

Pochodne cząstkowe

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji wielu zmiennych możemy zdefiniować pochodne. Ze względu na to, że mamy tutaj do czynienia z funkcjami więcej niż jednej zmiennej, pochodne te można liczyć po wszystkich tych zmiennych. Pochodna policzona w ten sposób nazywana jest pochodną cząstkową.

Definicja:

Niech na D będzie określona funkcja n zmiennych f(x_1,x_2,...,x_n), (x_1,x_2,...,x_n)\in D \subset \mathbb{R}^n.

Pochodną cząstkową I rzędu funkcji f(x_1,x_2,...,x_n) względem zmiennej x_i (oznaczenie: \frac{ \partial f}{ \partial x_i}) nazywamy pochodną

\frac{ \partial f}{ \partial x_i} = f'_{x_i}(x_1,x_2,...,x_n)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1,x_2,...x_i+h,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)}{h} .

A zatem jest to zwykła pochodna funkcji f(x_1,x_2,...,x_n) traktowanej jako funkcja zmiennej x_i, w której pozostałe zmienne traktowane są jako stałe.

Przykład:

Rozważmy funkcję trzech zmiennych f(x,y,z)=3x^3z-xz^4+4y^2z^6-z^5-5y+2.

Znajdziemy jej pochodne cząstkowe po każdej ze zmiennych:

f_{x}'=3z \cdot 3x^2-z^4 \cdot 1+0=9x^2z-z^4

f_{y}'=0+4z^6 \cdot 2y-0-5=8yz^6-5

f_{z}'=3x^3 \cdot 1-x \cdot 4z^3+4y^2 \cdot 6z^5-5z^4+0= 3x^3-4xz^3+24y^2z^5-5z^4

 

Z pojęciem pochodnej cząstkowej związane jest pojęcie gradientu funkcji. Gradient jest wektorem pochodnych cząstkowych po wszystkich zmiennych.

Definicja:

Gradientem funkcji f(x_1,x_2,...,x_n) w punkcie (x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)\in \mathbb{R}^n nazywamy wektor

\nabla f(x^0)=(f_{x_1}'(x^0),f_{x_2}'(x^0),...,f_{x_n}'(x^0)).

Przykład:

Znajdziemy gradient funkcji f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y} w punkcie x^0=(0,1).

Policzmy najpierw pochodne cząstkowe. W tym celu przekształćmy funkcję dla łatwiejszych obliczeń:

f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y} = \arcsin (x \cdot y^{-1})

Pochodne cząstkowe mają postać:

f_x'= \frac{y^{-1} \cdot 1}{ \sqrt{1- (\frac{x}{y}) ^2} } = \frac{y^{-1} }{ \sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2} } }= \frac{1 }{ \sqrt{y^2-x^2}} = ( \sqrt{y^2-x^2}) ^{-1}

f_y'= \frac{x \cdot (-y^{-2})}{ \sqrt{1- (\frac{x}{y}) ^2} } = \frac{-x \cdot y^{-2} }{ \sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2} } }= \frac{-x }{ \sqrt{y^2-x^2}}

Teraz wyliczamy wartość pochodnych cząstkowych w punkcie x^0=(0,1), otrzymując

f_x'(0,1)= ( \sqrt{1^2-0^2}) ^{-1}=1

f_y'(0,1)= \frac{-0}{1} =0

A zatem gradient funkcji f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y} w punkcie x^0=(0,1) to wektor \nabla f(0,1)=(1,0).

 

Możemy zdefiniować także pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Poniżej definicja pochodnej cząstkowej II rzędu funkcji dwóch zmiennych.

Definicja:

Niech dana będzie funkcja f(x,y) taka, że istnieją f^'_x(x,y), f^'_y(x,y). Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe z tych pochodnych to nazywamy je pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji f(x,y).

f^{''}_{xx}= \frac{ \partial ^2f}{ \partial x^2}

f^{''}_{yy}= \frac{ \partial ^2f}{ \partial yy^2}

f^{''}_{xy}= f^{''}_{yx}= \frac{ \partial ^2f}{ \partial xy}

Przykład:

Policzymy pochodne cząstkowe II rzędu dla funkcji f(x,y)=x^3 \ln y.

W tym celu wyznaczamy najpierw pochodne I rzędu:

f^'_x=\ln y \cdot 3x^2= 3x^2 \ln y

f_y^'=x^3 \cdot \frac{1}{y} =x^3 y^{-1}

Teraz liczymy pochodne po tych pochodnych:

f^{''}_{xx}=3\ln y \cdot 2x=6x \ln y

f^{''}_{xx}=x^3 \cdot (-y^{-2})=-x^3y^{-2}= \frac{-x^3}{y^2}

f^{''}_{xy}=f^{''}_{yx}=3x^2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3x^2}{y}

Polecamy również:

  • Różniczka zupełna

    W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną... Więcej »

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 3 =
Ostatnio komentowane
Konopielka
No dobra a jaki morał
• 2023-02-01 21:57:10
Polska podziemna
dzieki
• 2023-01-31 11:52:02
Biografia Monteskiusza
Dobrze jak lekko sie zmieji do dostanie sie 5 a nawet 6.
• 2023-01-30 07:39:28
Średniowieczne motywy i pojęcia
ok
• 2023-01-29 17:14:30
Socjaldemokracja Królestwa Polskiego i Litwy (SDKPiL)
fajne :> ciekawe
• 2023-01-28 13:30:03