Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji wielu zmiennych możemy zdefiniować pochodne. Ze względu na to, że mamy tutaj do czynienia z funkcjami więcej niż jednej zmiennej, pochodne te można liczyć po wszystkich tych zmiennych. Pochodna policzona w ten sposób nazywana jest pochodną cząstkową.
Definicja:
Niech na będzie określona funkcja
zmiennych
,
.
Pochodną cząstkową I rzędu funkcji względem zmiennej
(oznaczenie:
) nazywamy pochodną
.
A zatem jest to zwykła pochodna funkcji traktowanej jako funkcja zmiennej
, w której pozostałe zmienne traktowane są jako stałe.
Przykład:
Rozważmy funkcję trzech zmiennych .
Znajdziemy jej pochodne cząstkowe po każdej ze zmiennych:
Z pojęciem pochodnej cząstkowej związane jest pojęcie gradientu funkcji. Gradient jest wektorem pochodnych cząstkowych po wszystkich zmiennych.
Definicja:
Gradientem funkcji w punkcie
nazywamy wektor
.
Przykład:
Znajdziemy gradient funkcji w punkcie
.
Policzmy najpierw pochodne cząstkowe. W tym celu przekształćmy funkcję dla łatwiejszych obliczeń:
Pochodne cząstkowe mają postać:
Teraz wyliczamy wartość pochodnych cząstkowych w punkcie , otrzymując
A zatem gradient funkcji w punkcie
to wektor
.
Możemy zdefiniować także pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Poniżej definicja pochodnej cząstkowej II rzędu funkcji dwóch zmiennych.
Definicja:
Niech dana będzie funkcja taka, że istnieją
,
. Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe z tych pochodnych to nazywamy je pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji
.
Przykład:
Policzymy pochodne cząstkowe II rzędu dla funkcji .
W tym celu wyznaczamy najpierw pochodne I rzędu:
Teraz liczymy pochodne po tych pochodnych: