Pochodne cząstkowe

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji wielu zmiennych możemy zdefiniować pochodne. Ze względu na to, że mamy tutaj do czynienia z funkcjami więcej niż jednej zmiennej, pochodne te można liczyć po wszystkich tych zmiennych. Pochodna policzona w ten sposób nazywana jest pochodną cząstkową.

Definicja:

Niech na $D$ będzie określona funkcja $n$ zmiennych $f(x_1,x_2,...,x_n)$ , $(x_1,x_2,...,x_n)\in D \subset \mathbb{R}^n$ .

Pochodną cząstkową I rzędu funkcji $f(x_1,x_2,...,x_n)$ względem zmiennej $x_i$ (oznaczenie: $\frac{ \partial f}{ \partial x_i}$ ) nazywamy pochodną

$\frac{ \partial f}{ \partial x_i} = f'_{x_i}(x_1,x_2,...,x_n)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1,x_2,...x_i+h,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)}{h}$ .

A zatem jest to zwykła pochodna funkcji $f(x_1,x_2,...,x_n)$ traktowanej jako funkcja zmiennej $x_i$ , w której pozostałe zmienne traktowane są jako stałe.

Przykład:

Rozważmy funkcję trzech zmiennych $f(x,y,z)=3x^3z-xz^4+4y^2z^6-z^5-5y+2$ .

Znajdziemy jej pochodne cząstkowe po każdej ze zmiennych:

$f_{x}'=3z \cdot 3x^2-z^4 \cdot 1+0=9x^2z-z^4$

$f_{y}'=0+4z^6 \cdot 2y-0-5=8yz^6-5$

$f_{z}'=3x^3 \cdot 1-x \cdot 4z^3+4y^2 \cdot 6z^5-5z^4+0= 3x^3-4xz^3+24y^2z^5-5z^4$

Z pojęciem pochodnej cząstkowej związane jest pojęcie gradientu funkcji. Gradient jest wektorem pochodnych cząstkowych po wszystkich zmiennych.

Definicja:

Gradientem funkcji $f(x_1,x_2,...,x_n)$ w punkcie $(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)\in \mathbb{R}^n$ nazywamy wektor

$\nabla f(x^0)=(f_{x_1}'(x^0),f_{x_2}'(x^0),...,f_{x_n}'(x^0))$ .

Przykład:

Znajdziemy gradient funkcji $f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y}$ w punkcie $x^0=(0,1)$ .

Policzmy najpierw pochodne cząstkowe. W tym celu przekształćmy funkcję dla łatwiejszych obliczeń:

$f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y} = \arcsin (x \cdot y^{-1})$

Pochodne cząstkowe mają postać:

$f_x'= \frac{y^{-1} \cdot 1}{ \sqrt{1- (\frac{x}{y}) ^2} } = \frac{y^{-1} }{ \sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2} } }= \frac{1 }{ \sqrt{y^2-x^2}} = ( \sqrt{y^2-x^2}) ^{-1}$

$f_y'= \frac{x \cdot (-y^{-2})}{ \sqrt{1- (\frac{x}{y}) ^2} } = \frac{-x \cdot y^{-2} }{ \sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2} } }= \frac{-x }{ \sqrt{y^2-x^2}}$

Teraz wyliczamy wartość pochodnych cząstkowych w punkcie $x^0=(0,1)$ , otrzymując

$f_x'(0,1)= ( \sqrt{1^2-0^2}) ^{-1}=1$

$f_y'(0,1)= \frac{-0}{1} =0$

A zatem gradient funkcji $f(x,y)=\arcsin \frac{x}{y}$ w punkcie $x^0=(0,1)$ to wektor $\nabla f(0,1)=(1,0)$ .

Możemy zdefiniować także pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Poniżej definicja pochodnej cząstkowej II rzędu funkcji dwóch zmiennych.

Definicja:

Niech dana będzie funkcja $f(x,y)$ taka, że istnieją $f^'_x(x,y)$ , $f^'_y(x,y)$ . Jeżeli istnieją pochodne cząstkowe z tych pochodnych to nazywamy je pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji $f(x,y)$ .