Funkcja signum jest definiowana następująco:
\(\operator{sgn(x)} = \begin{cases} 1 \Leftrightarrow x>0 \\ 0 \Leftrightarrow x=0 \\ -1 \Leftrightarrow x<0 \end{cases} \)
Dziedziną funkcji signum jest zbiór liczb rzeczywistych, a przeciwdziedziną zbiór trzyelementowy \(\left \{-1,0,1 \right \}\).
Funkcja ma jedno miejsce zerowy w początku układu współrzędnych.
Funkcja signum jest funkcją nieparzystą, niemalejącą, nieróżnowartościową, nieciągłą oraz ograniczoną (od góry przez \(1\), od dołu przez \(-1\)).
Signum to z łaciny znak i takie też jest znaczenie tej funkcji - zwraca ona znak zadanego argumentu. Bardzo często też argumentem funkcji signum jest inna funkcja.
Przykład:
Rozważmy funkcję \(\operator {sgn}(3x^2+2x-1)\).
Oczywiście
\(\operator{sgn(3x^2+2x-1)} = \begin{cases} 1 \Leftrightarrow 3x^2+2x-1>0 \\ 0 \Leftrightarrow 3x^2+2x-1=0 \\ -1 \Leftrightarrow 3x^2+2x-1<0 \end{cases} \)
Zastanówmy się więc kiedy \(3x^2+2x-1 =0\).
Bardzo łatwo policzyć możemy, że \(x_1 = -1\), \(x_2 = \frac 1 3\).
Parametr \(a = 3\) funkcji kwadratowej jest dodatni więc ramiona paraboli skierowane będą w górę.
Widzimy zatem, że argument funkcji signum jest dodatni dla \(x\) należących do przedziałów \((-\infty,-1)\), \((\frac 1 3, \infty)\), zerowy gdy \(x = -1\) lub \(x = \frac 1 3\) oraz ujemny dla \(x\) należących do \((-1,\frac 1 3)\).
Zapiszmy więc ostatecznie:
\(\operator{sgn(3x^2+2x-1)}= \begin{cases}1\Leftrightarrow x\in(-\infty,-1)\vee(\frac13,\infty)\\ 0\Leftrightarrow x=-1\vee x=\frac13 \\ -1\Leftrightarrow x\in(-1,\frac13)\end{cases} \)
Zadanie:
Napisz wzór funkcji \(\operator sgn(x^3+5x^2+2x-8)\).
Odpowiedź:
\(\operator{sgn(x^3+5x^2+2x-8)}= \begin{cases}1\Leftrightarrow x\in(-4,-2)\vee(1,\infty)\\ 0\Leftrightarrow x=-4\vee x=-2\vee x=1 \\ -1\Leftrightarrow x\in(-\infty,-4)\vee(-2,1)\end{cases} \).