Funkcja signum – wzór, wykres, zadania

Funkcja signum jest definiowana następująco:

\(\operator{sgn(x)} = \begin{cases} 1 \Leftrightarrow x>0 \\ 0 \Leftrightarrow x=0 \\ -1 \Leftrightarrow x<0 \end{cases} \)

 

Dziedziną funkcji signum jest zbiór liczb rzeczywistych, a przeciwdziedziną zbiór trzyelementowy \(\left \{-1,0,1 \right \}\).

 

Funkcja ma jedno miejsce zerowy w początku układu współrzędnych.

 

Funkcja signum jest funkcją nieparzystą, niemalejącą, nieróżnowartościową, nieciągłą oraz ograniczoną (od góry przez \(1\), od dołu przez \(-1\)).

 

Signum to z łaciny znak i takie też jest znaczenie tej funkcji - zwraca ona znak zadanego argumentu. Bardzo często też argumentem funkcji signum jest inna funkcja.

 

Przykład:

Rozważmy funkcję \(\operator {sgn}(3x^2+2x-1)\).

 

Oczywiście 

\(\operator{sgn(3x^2+2x-1)} = \begin{cases} 1 \Leftrightarrow 3x^2+2x-1>0 \\ 0 \Leftrightarrow 3x^2+2x-1=0 \\ -1 \Leftrightarrow 3x^2+2x-1<0 \end{cases} \)

Zastanówmy się więc kiedy \(3x^2+2x-1 =0\).

Bardzo łatwo policzyć możemy, że \(x_1 = -1\)\(x_2 = \frac 1 3\).

Parametr \(a = 3\) funkcji kwadratowej jest dodatni więc ramiona paraboli skierowane będą w górę.

Widzimy zatem, że argument funkcji signum jest dodatni dla \(x\) należących do przedziałów \((-\infty,-1)\)\((\frac 1 3, \infty)\), zerowy gdy \(x = -1\) lub \(x = \frac 1 3\) oraz ujemny dla \(x\) należących do \((-1,\frac 1 3)\).

Zapiszmy więc ostatecznie:

 \(\operator{sgn(3x^2+2x-1)}= \begin{cases}1\Leftrightarrow x\in(-\infty,-1)\vee(\frac13,\infty)\\ 0\Leftrightarrow x=-1\vee x=\frac13 \\ -1\Leftrightarrow x\in(-1,\frac13)\end{cases} \)

Zadanie: 

Napisz wzór funkcji \(\operator sgn(x^3+5x^2+2x-8)\).

 

Odpowiedź:

 

\(\operator{sgn(x^3+5x^2+2x-8)}= \begin{cases}1\Leftrightarrow x\in(-4,-2)\vee(1,\infty)\\ 0\Leftrightarrow x=-4\vee x=-2\vee x=1 \\ -1\Leftrightarrow x\in(-\infty,-4)\vee(-2,1)\end{cases} \).

Polecamy również:

Komentarze (1)
Wynik działania 1 + 4 =
Marek
2019-11-07 21:09:19
Bardzo proste i jasne wytłumaczenie.
Ostatnio komentowane
Ta książka jest wyjątkowa , przyjemnie się czyta to streszczenie
• 2024-11-11 09:32:23
na czym polegają te fundacje i stowarzyszenia? brakuje tu wyjaśnienia i jakiegoś przyk�...
• 2024-11-05 17:38:04
Głupota w tekście! Janusz i Agnieszka się nie związali, bo byli bardzo bliskim kuzynos...
• 2024-10-27 17:40:49
Super
• 2024-10-21 17:09:20
Bardzo trudne.
• 2024-10-21 13:31:17