Strona główna

/

Zadania

/

Matematyka

/

Liceum

Równanie i nierówność z podwójną wartością bezwzględną

Rozwiąż

a) $\left||x-4|\ -2\right|=7$ ,

b) $\left| |2x-1|\ +\ 3\right| \ \geq \ 4$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

12.02.2020 21:04

a)

$\left| |x-4|\ -\ 2 \right| = 7$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, otrzymujemy

$|x-4|\ -\ 2 = 7 \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} |x-4|\ -\ 2 = -7$ .

Rozwiązujemy podane równania, ponownie korzystając z tej samej własności.

Pierwszy przypadek:

$|x-4|\ -\ 2 = 7$

$|x-4|\ = 9$

$x-4=9 \hspace{20pt} \vee\hspace{20pt} x-4 = -9$

Otrzymujemy dwa rozwiązania $x=13 \ \vee \ x=-5$ .

Drugi przypadek:

$|x-4|\ -\ 2 = -7$

$|x-4|\ = -9$

Podane równanie jest sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

Ostatecznie otrzymujemy $x\in\{-5\ ,\ 13\}$ .

b)

$\left| |2x-1| \ +\ 3 \right| \ \geq \ 4$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, mamy

$|2x-1| \ +\ 3 \ \geq \ 4 \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} |2x-1| \ +\ 3 \ \leq \ -4$

Rozwiązujemy powyższe przypadki, korzystając z własności.

Pierwszy przypadek:

$|2x-1| \ +\ 3 \ \geq \ 4$

$|2x-1| \ \ \geq \ 1$

$2x-1 \ \geq \ 1 \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} 2x-1 \leq-1$

$2x\ \geq\ 2 \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} 2x\ \leq\ 0$

Otrzymujemy $x\ \geq\ 1 \ \ \vee \ \ x\ \leq\ 0$ .

W drugim przypadku:

$|2x-1| \ +\ 3 \ \leq \ -4$

$|2x-1| \ \ \leq \ -7$

Otrzymujemy sprzeczność, bo wartość bezwzględna jest liczbą nieujemną.

Ostatecznie, uwzględniając oba przypadki, dostajemy wynik $x\in \left( -\infty\ ,\ 0\right\rangle\ \cup\ \left\langle1\ ,\ \infty\right)$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: