Równanie i nierówność z podwójną wartością bezwzględną

Rozwiąż

a) \left||x-4|\ -2\right|=7,

b) \left| |2x-1|\ +\ 3\right| \ \geq \ 4.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
12.02.2020 21:04

a)

 \left| |x-4|\ -\ 2 \right| = 7

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, otrzymujemy

 |x-4|\ -\ 2 = 7 \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} |x-4|\ -\ 2  = -7.

Rozwiązujemy podane równania, ponownie korzystając z tej samej własności.

Pierwszy przypadek:

 |x-4|\ -\ 2 = 7

 |x-4|\ = 9

x-4=9 \hspace{20pt} \vee\hspace{20pt} x-4 = -9

Otrzymujemy dwa rozwiązania x=13 \ \vee \  x=-5.

Drugi przypadek:

 |x-4|\ -\ 2  = -7

 |x-4|\ = -9

Podane równanie jest sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

 

Ostatecznie otrzymujemy x\in\{-5\ ,\ 13\}.

 

b)

\left| |2x-1| \ +\ 3 \right| \ \geq \ 4

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, mamy

|2x-1| \ +\ 3  \ \geq \ 4 \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} |2x-1| \ +\ 3  \ \leq \ -4

Rozwiązujemy powyższe przypadki, korzystając z własności.

Pierwszy przypadek:

|2x-1| \ +\ 3  \ \geq \ 4

|2x-1| \   \ \geq \ 1

2x-1  \ \geq \ 1 \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} 2x-1 \leq-1

2x\ \geq\ 2 \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} 2x\ \leq\ 0

Otrzymujemy x\ \geq\ 1 \ \ \vee \ \ x\ \leq\ 0.

 

W drugim przypadku:

|2x-1| \ +\ 3  \ \leq \ -4

|2x-1| \ \ \leq \ -7

Otrzymujemy sprzeczność, bo wartość bezwzględna jest liczbą nieujemną.

 

Ostatecznie, uwzględniając oba przypadki, dostajemy wynik x\in \left( -\infty\ ,\ 0\right\rangle\  \cup\  \left\langle1\ ,\ \infty\right).

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 5 + 4 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: