Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie 

a) \left| 8 - x \right| = -2,

b) \left| \frac{x}{3}  - 4 \right| = 2,

c) \left|x-3\right|\  + \ \left|x+3|=6.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
03.02.2020 10:12

a) \left| 8 - x \right| = -2

Powyższe równanie jest sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

Stąd x \in \emptyset.


b) \left| \frac{x}{3} - 4 \right| = 2

Korzystamy z poniższej własności.

Jeśli p>0, to |x|=p wtedy i tylko wtedy, gdy x = -p lub x = p.

Rozpatrujemy dwa równania

\frac{x}{3} - 4 = 2  \hspace{15pt} \vee \hspace{15pt} \frac{x}{3} - 4 = -2

\frac{x}{3}=6 \hspace{15pt} \vee \hspace{15pt} \frac{x}{3}=2

x=18 \hspace{15pt} \vee \hspace{15pt} x=6

Zatem x \in \{6, 18\}.


c) Rozpatrujemy następujące przypadki

1o x-3\ <\ 0 \hspace{20pt} \wedge \hspace{20pt} x+3\ <\ 0, czyli x\in \left(-\infty\ ,\ -3\right),

2o x-3\ <\ 0 \hspace{20pt} \wedge \hspace{20pt} x+3\ \geq \ 0, czyli x\in \left\langle -3\ ,\ 3\right),

3o x-3\ \geq \ 0 \hspace{20pt} \wedge \hspace{20pt} x+3\ \geq\ 0, czyli x\in \left\langle 3\ ,\ \infty \right).


Przypadek, gdy x-3\geq 0 \hspace{20pt} \wedge \hspace{20pt} x+3 < 0 jest sprzeczny, nie ma takich liczb, które spełniają te dwie nierówności.


W podpunkcie 1o równanie przyjmuje postać

3-x-x-3=6

-2x=6

x=-3

Powyższe rozwiązanie nie należy do rozważanego w tym podpunkcie przedziału, więc w \left(-\infty\ ,\ -3\right) równanie nie ma rozwiązań.


Dla zdarzenia 2o otrzymujemy

3-x+x+3=6

6=6

Oznacza to, że równanie jest prawdziwe dla każdej liczby z przedziału \left\langle-3\ ,\  3\right).


W sytuacji 3o mamy

x-3+x+3=6

x=3

To rozwiązanie należy do rozpatrywanego przedziału, zatem jest jednym z rozwiązań wyjściowego równania.


Ostatecznie x\in \left\langle -3\ ,\ 3 \right\rangle.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 5 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: