Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie

a) $\left| 8 - x \right| = -2$ ,

b) $\left| \frac{x}{3} - 4 \right| = 2$ ,

c) $\left|x-3\right|\ + \ \left|x+3|=6$ .

Liceum Matematyka

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

03.02.2020 10:12

a) $\left| 8 - x \right| = -2$

Powyższe równanie jest sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

Stąd $x \in \emptyset$ .

b) $\left| \frac{x}{3} - 4 \right| = 2$

Korzystamy z poniższej własności.

Jeśli p>0, to |x|=p wtedy i tylko wtedy, gdy x = -p lub x = p.

Rozpatrujemy dwa równania

$\frac{x}{3} - 4 = 2 \hspace{15pt} \vee \hspace{15pt} \frac{x}{3} - 4 = -2$

$\frac{x}{3}=6 \hspace{15pt} \vee \hspace{15pt} \frac{x}{3}=2$

$x=18 \hspace{15pt} \vee \hspace{15pt} x=6$

Zatem $x \in \{6, 18\}$ .

c) Rozpatrujemy następujące przypadki

1^o $x-3\ <\ 0 \hspace{20pt} \wedge \hspace{20pt} x+3\ <\ 0$ , czyli $x\in \left(-\infty\ ,\ -3\right)$ ,

2^o $x-3\ <\ 0 \hspace{20pt} \wedge \hspace{20pt} x+3\ \geq \ 0$ , czyli $x\in \left\langle -3\ ,\ 3\right)$ ,

3^o $x-3\ \geq \ 0 \hspace{20pt} \wedge \hspace{20pt} x+3\ \geq\ 0$ , czyli $x\in \left\langle 3\ ,\ \infty \right)$ .

Przypadek, gdy $x-3\geq 0 \hspace{20pt} \wedge \hspace{20pt} x+3 < 0$ jest sprzeczny, nie ma takich liczb, które spełniają te dwie nierówności.

W podpunkcie 1^o równanie przyjmuje postać

$3-x-x-3=6$

$-2x=6$

$x=-3$

Powyższe rozwiązanie nie należy do rozważanego w tym podpunkcie przedziału, więc w $\left(-\infty\ ,\ -3\right)$ równanie nie ma rozwiązań.

Dla zdarzenia 2^o otrzymujemy

$3-x+x+3=6$

$6=6$

Oznacza to, że równanie jest prawdziwe dla każdej liczby z przedziału $\left\langle-3\ ,\ 3\right)$ .

W sytuacji 3^o mamy

$x-3+x+3=6$

$x=3$

To rozwiązanie należy do rozpatrywanego przedziału, zatem jest jednym z rozwiązań wyjściowego równania.

Ostatecznie $x\in \left\langle -3\ ,\ 3 \right\rangle$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: