Nierówność z wartością bezwzględną, rozwiązanie z własności wartości bezwzględnej

Rozwiąż nierówność

a) $2\left|x+ 3\right| \ - \ \left|3x+9\right| \leq \sqrt[]{x^2 + 6x + 9} -4$ ,

b) $\sqrt[]{4x^2-16x + 16} \ +\ \left|6-3x\right| \ <\ 5$ .

Liceum Matematyka

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

05.02.2020 17:15

$2\left|x+ 3\right| \ - \ \left|3x+9\right| \leq \sqrt[]{x^2 + 6x + 9} -4$

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy i przekształcamy nierówność.

$2\left|x+ 3\right| \ - \ \left|3x+9\right| \leq \sqrt[]{(x+3)^2} -4$

Dodając wyrazy podobne, otrzymujemy

$2\left|x+3|\geq 4$ .

Korzystamy z własności:

Zapisujemy dwie możliwości

$x + 3 \geq 2 \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} x+3 \leq - 2$

$x \geq -1 \hspace{20 pt} \vee \hspace{20 pt} x \leq -5$

Rozwiązaniem nierówności są liczby należące do przedziału $\left(-\infty \ , \ -5 \right\rangle \ \cup \ \left\langle -1 \ , \ \infty \right)$ .

$\sqrt[]{4x^2-16x + 16} \ +\ \left|6-3x\right| \ <\ 5$

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$\sqrt[]{(2x-4)^2} \ +\ \left|6-3x\right| \ <\ 5$

$|2x-4| \ +\ \left|6-3x\right| \ <\ 5$

Wiedząc, że |ab|=|a||b| oraz |a-b|=|b-a|, zapisujemy

$2\left|x-2\right| \ +\ 3\left|2-x \right| \ <\ 5$

$5\left|x-2 \right|\ <\ 5$

$\left|x-2\right| \ <\ 1$

Korzystamy z własności:

Jeśli p > 0, to |x| < p wtedy i tylko wtedy , gdy -p < x < p.

$-1 \ < \ x-2\ <\ 1$

Ostatecznie $x \in \left( 1\ , \ 3 \right)$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: