Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Nierówność z wartością bezwzględną, rozwiązanie z własności wartości bezwzględnej

Rozwiąż nierówność

a) 2\left|x+ 3\right| \ - \ \left|3x+9\right| \leq \sqrt[]{x^2 + 6x + 9} -4,

b) \sqrt[]{4x^2-16x + 16} \ +\ \left|6-3x\right| \ <\  5.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
05.02.2020 17:15

a)

2\left|x+ 3\right| \ - \ \left|3x+9\right| \leq \sqrt[]{x^2 + 6x + 9} -4

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy i przekształcamy nierówność.

2\left|x+ 3\right| \ - \ \left|3x+9\right| \leq \sqrt[]{(x+3)^2} -4

2\left|x+ 3\right| \ - \ 3\left|x+3\right|\  \leq \ \left|x+3\right|\  - 4

Dodając wyrazy podobne, otrzymujemy

2\left|x+3|\geq 4.

Korzystamy z własności:

Jeśli p > 0, to |x| > p wtedy i tylko wtedy, gdy x < -p lub x > p.

Zapisujemy dwie możliwości

x + 3 \geq 2 \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} x+3 \leq - 2

x \geq -1 \hspace{20 pt} \vee \hspace{20 pt} x \leq -5

Rozwiązaniem nierówności są liczby należące do przedziału \left(-\infty \ , \ -5 \right\rangle \ \cup \ \left\langle -1 \ , \ \infty \right).


b)

 \sqrt[]{4x^2-16x + 16} \ +\ \left|6-3x\right| \ <\  5

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

\sqrt[]{(2x-4)^2} \ +\ \left|6-3x\right| \ <\  5

|2x-4| \ +\ \left|6-3x\right| \ <\  5

Wiedząc, że |ab|=|a||b| oraz |a-b|=|b-a|, zapisujemy

2\left|x-2\right| \ +\ 3\left|2-x \right| \ <\  5

5\left|x-2 \right|\  <\  5

\left|x-2\right| \ <\  1

Korzystamy z własności:

Jeśli p > 0, to |x| < p wtedy i tylko wtedy , gdy -p < x < p.

-1 \ < \ x-2\  <\  1


Ostatecznie x \in \left( 1\ , \ 3 \right).

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 4 + 2 =
Wszystkie odpowiedzi (0)