Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Są one zdefiniowane następująco:
Def.: Liczba \(g\) jest granicą prawostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach \(x_n > x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).
Def.: Liczba \(g\) jest granicą lewostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach \(x_n < x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest zbieżny do \(g\).
Granicę prawostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) zapisujemy \( \lim_{x \to x_0^+} f(x)\), natomiast granicę lewostronną tej funkcji w tym punkcie \( \lim_{x \to x_0^-} f(x)\).
Dla granic jednostronnych prawdziwe są wszystkie metody stosowane przy obliczaniu granic obustronnych.
Przykład:
\( \lim_{x \to 0^+} ( \sqrt{x} -2) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} - \lim_{x \to 0^+} 2 = 0-2=-2\)
Twierdzenie: Funkcja \(f\) ma granicę w punkcie \(x_0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(f\) ma w tym punkcie obie granice jednostronne i są one równe, tzn\( \lim_{x \to x_0}f(x)=g \Leftrightarrow \lim_{ x\to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = g\).
W szczególności mogą istnieć obie granice jednostronne danej funkcji w punkcie, ale funkcja ta może nie mieć granicy.
Przykład:
Granica prawostronna funkcji signum w punkcie \(x_0 = 0\) wynosi \(1\), zaś granica lewostronna \(-1\), bo gdy \(x>x_0=0\) funkcja ta dana jest wzorem \(f(x) = 1\) natomiast dla \(x< x_0 = 0\) \(f(x) = -1\).
Istnieją obie granice jednostronne funkcji signum w punkcie \(x_0 = 0\) ale funkcja ta nie ma w tym punkcie granicy (bo granica prawostronna i lewostronna nie są sobie równe).
Zadanie:
Czy funkcja \(f(x) = \begin{cases} x^3+4 \Leftrightarrow x<-1 \\ 4-x^2 \Leftrightarrow x>-1 \end{cases} \) ma granicę w punkcie \(x_0 = 1\).
Odpowiedzi:
Tak, granica istnieje.