Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Są one zdefiniowane następująco:

Def.: Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x_0 jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach x_n > x_0 ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Def.: Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x_0 jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach x_n < x_0 ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Granicę prawostronną funkcji f w punkcie x_0 zapisujemy  \lim_{x \to x_0^+} f(x), natomiast granicę lewostronną tej funkcji w tym punkcie   \lim_{x \to x_0^-} f(x).

Dla granic jednostronnych prawdziwe są wszystkie metody stosowane przy obliczaniu granic obustronnych.

 

Przykład:

 \lim_{x \to 0^+} ( \sqrt{x} -2) =  \lim_{x \to 0^+}  \sqrt{x} -  \lim_{x \to 0^+} 2 = 0-2=-2

 

Twierdzenie: Funkcja f ma granicę w punkcie x_0 wtedy i tylko wtedy, gdy f ma w tym punkcie obie granice jednostronne i są one równe, tzn \lim_{x \to x_0}f(x)=g \Leftrightarrow   \lim_{ x\to x_0^+}  f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = g.

W szczególności mogą istnieć obie granice jednostronne danej funkcji w punkcie, ale funkcja ta może nie mieć granicy. 

 

Przykład:

Granica prawostronna funkcji signum w punkcie x_0 = 0 wynosi 1, zaś granica lewostronna -1, bo gdy x>x_0=0 funkcja ta dana jest wzorem f(x) = 1 natomiast dla x< x_0 = 0 f(x) = -1.

Istnieją obie granice jednostronne funkcji signum w punkcie x_0 = 0 ale funkcja ta nie ma w tym punkcie granicy (bo granica prawostronna i lewostronna nie są sobie równe).

 

Zadanie:

Czy funkcja f(x) =  \begin{cases} x^3+4  \Leftrightarrow  x<-1 \\ 4-x^2  \Leftrightarrow x>-1 \end{cases} ma granicę w punkcie x_0 = 1.

 

Odpowiedzi:

Tak, granica istnieje.

Zobacz również

Losowe zadania

  • Porównania

    Dokończ podane przykłady znanych porównań:   1. ____ jak rydz 2. blady jak ____ 3. ___ jak burak 4. ___jak kajaki 5. głupi jak ___ 6. trafić jak ____ w płot 7. ___ jak księżyc w pełni 8. strzelić jak ___ z jasnego nieba 9. spłynąć jak woda po ___ 10. piękny jak ___ bóg

    0 Odpowiedz Więcej
  • prędkość średnia

    Pewien niemiecki sportowiec biega z prędkością 72 km/h, zaś polski sportowiec biega z prędkością 40 m/s który z nich ma wieksza prędkość i w jakim czasie każdy z nim przebiegnie dystans 1000 m.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Francesco Petrarka - życiorys

    Zdecyduj, które twierdzenia dotyczą biografii Francesca Petrarki.   1. Urodził się w Mediolanie. 2. Ukończył studia medyczne. 3. Po ukończeniu studiów został duchownym. 4. Miał dwoje nieślubnych dzieci. 5. Otrzymał laur poetycki. 6. Szczególnym uznaniem darzył pisma św. Augustyna. 7. W swojej twó...

    0 Odpowiedz Więcej
  • List oficjalny

    Napisz list oficjalny do dyrektora swojej szkoły z prośbą o możliwość zorganizowania akcji sprzątania przez uczniów terenów zielonych otaczających szkołę.

    1 Odpowiedz Więcej
  • Prędkość liniowa

    Jaka jest prędkość lioniowa piłki zawieszonej na nitce o dlugości 25 cm, i wprawionej w ruch jeżeli całkowity obrót następuje w ciągu 5 s?

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 5 =
Ostatnio komentowane
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28
Rzym podbity przez barbarzyńców powoli całkowicie zamierał. Styl romański jest uprosz...
Badacz wlotów i upadków cywilizacji • 2020-06-11 21:16:11