Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Są one zdefiniowane następująco:

Def.: Liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach $x_n > x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest zbieżny do $g$ .

Def.: Liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach $x_n < x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest zbieżny do $g$ .

Granicę prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ zapisujemy $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ , natomiast granicę lewostronną tej funkcji w tym punkcie $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ .

Dla granic jednostronnych prawdziwe są wszystkie metody stosowane przy obliczaniu granic obustronnych.

Przykład:

$\lim_{x \to 0^+} ( \sqrt{x} -2) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} - \lim_{x \to 0^+} 2 = 0-2=-2$

Twierdzenie: Funkcja $f$ ma granicę w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ ma w tym punkcie obie granice jednostronne i są one równe, tzn $\lim_{x \to x_0}f(x)=g \Leftrightarrow \lim_{ x\to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = g$ .

W szczególności mogą istnieć obie granice jednostronne danej funkcji w punkcie, ale funkcja ta może nie mieć granicy.

Przykład:

Granica prawostronna funkcji signum w punkcie $x_0 = 0$ wynosi $1$ , zaś granica lewostronna $-1$ , bo gdy $x>x_0=0$ funkcja ta dana jest wzorem $f(x) = 1$ natomiast dla $x< x_0 = 0$ $f(x) = -1$ .

Istnieją obie granice jednostronne funkcji signum w punkcie $x_0 = 0$ ale funkcja ta nie ma w tym punkcie granicy (bo granica prawostronna i lewostronna nie są sobie równe).

Zadanie:

Czy funkcja $f(x) = \begin{cases} x^3+4 \Leftrightarrow x<-1 \\ 4-x^2 \Leftrightarrow x>-1 \end{cases}$ ma granicę w punkcie $x_0 = 1$ .

Odpowiedzi:

Tak, granica istnieje.

Polecamy również:

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak też dla funkcji określone zostały pewne fakty ułatwiające znajdowanie ich granic. Więcej »
Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Granicami niewłaściwymi funkcji nazywamy granice plus i minus nieskończoność. Więcej »
Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Dla funkcji, podobnie jak dla ciągów, również rozpatrujemy granice w nieskończoności. Więcej »
Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczona są wyrażeniami, na które możemy natrafić podczas wyznaczania granic. Zaliczamy do nich następujące wyrażenia... Więcej »
Reguła de l'Hospitala

Twierdzenie de l'Hospitala jest wygodnym sposobem liczenia pewnych granic. W tym celu posługujemy się pochodnymi. Więcej »

Komentarze (0)

Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Przykład:

Przykład:

Zadanie:

Odpowiedzi:

Polecamy również:

Zobacz również

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Symbole nieoznaczone

Reguła de l'Hospitala

Losowe zadania

Róża wiatrów

Trzy stany sejmujące

Ludwik Węgierski jako król Polski - konflikty, regencja, namiestnictwo

Funkcje piór

Obwód trójkąta