Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Są one zdefiniowane następująco:
Def.: Liczba jest granicą prawostronną funkcji
w punkcie
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach
ciąg
jest zbieżny do
.
Def.: Liczba jest granicą lewostronną funkcji
w punkcie
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach
ciąg
jest zbieżny do
.
Granicę prawostronną funkcji w punkcie
zapisujemy
, natomiast granicę lewostronną tej funkcji w tym punkcie
.
Dla granic jednostronnych prawdziwe są wszystkie metody stosowane przy obliczaniu granic obustronnych.
Przykład:
Twierdzenie: Funkcja ma granicę w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy
ma w tym punkcie obie granice jednostronne i są one równe, tzn
.
W szczególności mogą istnieć obie granice jednostronne danej funkcji w punkcie, ale funkcja ta może nie mieć granicy.
Przykład:
Granica prawostronna funkcji signum w punkcie wynosi
, zaś granica lewostronna
, bo gdy
funkcja ta dana jest wzorem
natomiast dla
.
Istnieją obie granice jednostronne funkcji signum w punkcie ale funkcja ta nie ma w tym punkcie granicy (bo granica prawostronna i lewostronna nie są sobie równe).
Zadanie:
Czy funkcja ma granicę w punkcie
.
Odpowiedzi:
Tak, granica istnieje.