Reguła de l'Hospitala

Twierdzenie de l'Hospitala jest wygodnym sposobem liczenia pewnych granic. W tym celu posługujemy się pochodnymi.

Autorem tego twierdzenia jest Johann Bernoulli, natomiast nazywane jest ono nazwiskiem jego ucznia, francuskiego matematyka markiza de l'Hospitala. De l'Hospital był autorem pierwszego na świecie podręcznika rachunku różniczkowego (opracowanego na podstawie wykładów Bernoulliego). W tym właśnie podręczniku de l'Hospital umieścił ową regułę, której treść jest następująca:

Twierdzenie:

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są określone i różniczkowalne w sąsiedztwie punktu x _{0} g(x) \neq 0g'(x) \neq 0 oraz granica wyrażenia  \frac{f(x)}{g(x)} przy x \rightarrow x _{0} jest symbolem nieoznaczonym postaci  \frac{0}{0} lub  \frac{ \infty }{ \infty } to zachodzi równość:

 \lim_{x \to x_0}  \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}  \frac{f'(x)}{g'(x)} .

A zatem zamiast liczyć granicę ilorazu funkcji f(x) i g(x) możemy najpierw policzyć ich pochodne, a następnie szukać granicy ilorazu tych pochodnych.

Przykład:

 \lim_{x \to0 }  \frac{\sin x}{x} =[ \frac{0}{0} ]= \lim_{ x\to 0}  \frac{(\sin x)'}{(x)'} 
= \lim_{x \to0 }  \frac{\cos x}{1}= \frac{1}{1} =1

Przykład:

 \lim_{x \to 0}  \frac{e^x +e^{-x}-2}{1-\cos 2x} =[ \frac{0}{0} ]= 
\lim_{x \to 0}  \frac{e^x -e^{-x}}{\sin2x \cdot 2} =[ \frac{0}{0} ]=

\lim_{x \to 0}  \frac{e^x +e^{-x}}{2\cos2x \cdot 2} =\lim_{x \to 0}  \frac{e^x +e^{-x}}{4\cos2x } = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

W powyższym przykładzie dwukrotnie wykorzystaliśmy regułę de l'Hospitala. Sprowadziliśmy tym samym początkową granicę (licząc pochodne licznika i mianownika) do prostej granicy, której obliczenie nie wymagało niczego więcej niż podstawienie zera za x. Policzenie tej granicy w inny sposób dostarczałoby więcej trudności, reguła de l'Hospitala znacznie ułatwiła to zadanie.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 1 =
Ostatnio komentowane
"Mianem libertarianizmu zwykło się nazywać najbardziej radykalny nurt liberalizmu." No...
• 2024-03-01 10:11:23
kys(keepurselfsafe)
• 2024-02-28 14:36:21
Super i MEGA pomocne!
• 2024-02-28 10:18:34
joł joł jowisz najwiekszy olbrzym gazowy 5 od słonca na pewno nie przeoczysz choć mooj...
• 2024-02-27 14:59:44
Ok
• 2024-02-27 09:29:45