Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczona są wyrażeniami, na które możemy natrafić podczas wyznaczania granic. Zaliczamy do nich następujące wyrażenia:

 \frac{0}{0} ,  \frac{ \infty }{ \infty } , 0 \cdot  \infty ,  \infty  ^{0} , 0 ^{0} , 1 ^{ \infty } ,  \infty - \infty .

Granic tego typu nie umiemy policzyć korzystając bezpośrednio ze standardowych metod, tj. praw arytmetyki granic oraz wzorów na podstawowe granice. Musimy wtedy użyć jakichś przekształceń algebraicznych i/lub reguły de l'Hospitala.

Uwaga:

Wyrażenia 0 \cdot  \infty ,  \infty  ^{0} , 0 ^{0} , 1 ^{ \infty } ,  \infty - \infty możemy sprowadzić do postaci  \frac{0}{0} lub  \frac{ \infty }{ \infty } używając odpowiednich przekształceń.

Przykład:

1) Symbol typu 0 \cdot  \infty

Niech  \lim_{x \to x_0} f(x)=0,  \lim_{x \to x_0} g(x)= \infty .

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)g(x)=[0 \cdot  \infty ]= \lim_{x \to x_0}  \frac{f(x)}{ \frac{1}{g(x)} }
=[  \frac{0}{0}  ].

Oraz  \lim_{x \to x_0} f(x)g(x)=[0 \cdot  \infty ]= \lim_{x \to x_0}  \frac{g(x)}{ \frac{1}{f(x)} }
=[  \frac{ \infty }{ \infty }  ].

 

2) Symbol typu  \infty  ^{0}

Niech  \lim_{x \to x_0} f(x)= \infty ,  \lim_{x \to x_0} g(x)= 0.

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[\infty^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0}  \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x)} }
=[  \frac{0}{0}  ].

Oraz  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[\infty^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0}  \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{ g(x)} }
=[  \frac{ \infty }{ \infty }  ].

3) Symbol typu 0 ^{0}

Niech  \lim_{x \to x_0} f(x)= 0,  \lim_{x \to x_0} g(x)= 0.

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[0^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0}  \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x)} }
=[  \frac{0}{0}  ].

Oraz  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[0^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0}  \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{ g(x)} }
=[  \frac{ \infty }{ \infty }  ].

4) Symbol typu 1 ^{ \infty }

Niech  \lim_{x \to x_0} f(x)= 1,  \lim_{x \to x_0} g(x)=  \infty .

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[1^ \infty ]= \exp\lim_{x \to x_0}  \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{g(x)} }
=[  \frac{0}{0}  ].

Oraz  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[1^ \infty  ]= \exp\lim_{x \to x_0}  \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x) } }
=[  \frac{ \infty }{ \infty }  ].

5) Symbol typu  \infty - \infty

Niech  \lim_{x \to x_0} f(x)= \infty ,  \lim_{x \to x_0} g(x)=  \infty .

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)-{g(x)}=[ \infty - \infty ]
= \lim_{x \to x_0}  \frac{ \frac{1}{g(x)}- \frac{1}{f(x)} }{ \frac{1}{f(x)g(x)} }
=[  \frac{0}{0}  ].

Oraz  \lim_{x \to x_0} f(x)-{g(x)}=[ \infty - \infty  ]= \ln \lim_{x \to x_0}  \frac{\exp f(x)}{ \exp g(x)  }
= [ \frac{ \infty }{ \infty }  ].

Przekształcenie granic do postaci zwracającej symbol  \frac{0}{0} lub  \frac{ \infty }{ \infty } umożliwia obliczenie granicy z wykorzystaniem reguły de l'Hospitala.

Uwaga:

Wyrażenie 0 ^{0} traktowane jest jak symbol nieoznaczony jedynie w kontekście granic. W innych przypadkach najczęściej przyjmuje się, że 0 ^{0} =1, choć tak naprawdę zależy to od konkretnej sytuacji.

Uwaga:

We wszystkich powyższych przypadkach oprócz  \infty - \infty nie ma znaczenia znak nieskończoności - powyższe reguły przekształceń tyczą się zarówno + \infty jak i - \infty . W przypadku  \infty - \infty gdyby druga nieskończoność była - \infty otrzymalibyśmy po prostu  \infty - (-\infty)= \infty +\infty co oczywiście nie jest symbolem nieoznaczonym lecz wynosi + \infty .

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
ok
• 2024-05-20 16:01:25
W filmie nie ma ochronki, Ale strzały do robotników
• 2024-05-18 14:53:16
łatwe
• 2024-05-16 19:37:20
Przydatny na po prawe oceny z historii
• 2024-05-15 14:52:53