Symbole nieoznaczona są wyrażeniami, na które możemy natrafić podczas wyznaczania granic. Zaliczamy do nich następujące wyrażenia:
\( \frac{0}{0} \), \( \frac{ \infty }{ \infty } \), \(0 \cdot \infty \), \( \infty ^{0} \), \(0 ^{0} \), \(1 ^{ \infty } \), \( \infty - \infty \).
Granic tego typu nie umiemy policzyć korzystając bezpośrednio ze standardowych metod, tj. praw arytmetyki granic oraz wzorów na podstawowe granice. Musimy wtedy użyć jakichś przekształceń algebraicznych i/lub reguły de l'Hospitala.
Uwaga:
Wyrażenia \(0 \cdot \infty \), \( \infty ^{0} \), \(0 ^{0} \), \(1 ^{ \infty } \), \( \infty - \infty \) możemy sprowadzić do postaci \( \frac{0}{0} \) lub \( \frac{ \infty }{ \infty } \) używając odpowiednich przekształceń.
Przykład:
1) Symbol typu \(0 \cdot \infty \)
Niech \( \lim_{x \to x_0} f(x)=0\), \( \lim_{x \to x_0} g(x)= \infty \).
Wtedy \( \lim_{x \to x_0} f(x)g(x)=[0 \cdot \infty ]= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{ \frac{1}{g(x)} } =[ \frac{0}{0} ]\).
Oraz \( \lim_{x \to x_0} f(x)g(x)=[0 \cdot \infty ]= \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{ \frac{1}{f(x)} } =[ \frac{ \infty }{ \infty } ]\).
2) Symbol typu \( \infty ^{0} \)
Niech \( \lim_{x \to x_0} f(x)= \infty \), \( \lim_{x \to x_0} g(x)= 0\).
Wtedy \( \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[\infty^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x)} } =[ \frac{0}{0} ]\).
Oraz \( \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[\infty^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{ g(x)} } =[ \frac{ \infty }{ \infty } ]\).
3) Symbol typu \(0 ^{0} \)
Niech \( \lim_{x \to x_0} f(x)= 0\), \( \lim_{x \to x_0} g(x)= 0\).
Wtedy \( \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[0^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x)} } =[ \frac{0}{0} ]\).
Oraz \( \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[0^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{ g(x)} } =[ \frac{ \infty }{ \infty } ]\).
4) Symbol typu \(1 ^{ \infty } \)
Niech \( \lim_{x \to x_0} f(x)= 1\), \( \lim_{x \to x_0} g(x)= \infty \).
Wtedy \( \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[1^ \infty ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{g(x)} } =[ \frac{0}{0} ]\).
Oraz \( \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[1^ \infty ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x) } } =[ \frac{ \infty }{ \infty } ]\).
5) Symbol typu \( \infty - \infty\)
Niech \( \lim_{x \to x_0} f(x)= \infty \), \( \lim_{x \to x_0} g(x)= \infty \).
Wtedy \( \lim_{x \to x_0} f(x)-{g(x)}=[ \infty - \infty ] = \lim_{x \to x_0} \frac{ \frac{1}{g(x)}- \frac{1}{f(x)} }{ \frac{1}{f(x)g(x)} } =[ \frac{0}{0} ]\).
Oraz \( \lim_{x \to x_0} f(x)-{g(x)}=[ \infty - \infty ]= \ln \lim_{x \to x_0} \frac{\exp f(x)}{ \exp g(x) } = [ \frac{ \infty }{ \infty } ]\).
Przekształcenie granic do postaci zwracającej symbol \( \frac{0}{0} \) lub \( \frac{ \infty }{ \infty } \) umożliwia obliczenie granicy z wykorzystaniem reguły de l'Hospitala.
Uwaga:
Wyrażenie \(0 ^{0} \) traktowane jest jak symbol nieoznaczony jedynie w kontekście granic. W innych przypadkach najczęściej przyjmuje się, że \(0 ^{0} =1\), choć tak naprawdę zależy to od konkretnej sytuacji.
Uwaga:
We wszystkich powyższych przypadkach oprócz \( \infty - \infty\) nie ma znaczenia znak nieskończoności - powyższe reguły przekształceń tyczą się zarówno \(+ \infty \) jak i \(- \infty \). W przypadku \( \infty - \infty\) gdyby druga nieskończoność była \(- \infty \) otrzymalibyśmy po prostu \( \infty - (-\infty)= \infty +\infty\) co oczywiście nie jest symbolem nieoznaczonym lecz wynosi \(+ \infty \).