1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczona są wyrażeniami, na które możemy natrafić podczas wyznaczania granic. Zaliczamy do nich następujące wyrażenia:

\frac{0}{0} , \frac{ \infty }{ \infty } , 0 \cdot \infty , \infty ^{0} , 0 ^{0} , 1 ^{ \infty } , \infty - \infty .

Granic tego typu nie umiemy policzyć korzystając bezpośrednio ze standardowych metod, tj. praw arytmetyki granic oraz wzorów na podstawowe granice. Musimy wtedy użyć jakichś przekształceń algebraicznych i/lub reguły de l'Hospitala.

Uwaga:

Wyrażenia 0 \cdot \infty , \infty ^{0} , 0 ^{0} , 1 ^{ \infty } , \infty - \infty możemy sprowadzić do postaci \frac{0}{0} lub \frac{ \infty }{ \infty } używając odpowiednich przekształceń.

Przykład:

1) Symbol typu 0 \cdot \infty

Niech \lim_{x \to x_0} f(x)=0, \lim_{x \to x_0} g(x)= \infty .

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)g(x)=[0 \cdot \infty ]= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{ \frac{1}{g(x)} } =[ \frac{0}{0} ].

Oraz \lim_{x \to x_0} f(x)g(x)=[0 \cdot \infty ]= \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{ \frac{1}{f(x)} } =[ \frac{ \infty }{ \infty } ].

 

2) Symbol typu \infty ^{0}

Niech \lim_{x \to x_0} f(x)= \infty , \lim_{x \to x_0} g(x)= 0.

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[\infty^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x)} } =[ \frac{0}{0} ].

Oraz \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[\infty^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{ g(x)} } =[ \frac{ \infty }{ \infty } ].

3) Symbol typu 0 ^{0}

Niech \lim_{x \to x_0} f(x)= 0, \lim_{x \to x_0} g(x)= 0.

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[0^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x)} } =[ \frac{0}{0} ].

Oraz \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[0^0 ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{ g(x)} } =[ \frac{ \infty }{ \infty } ].

4) Symbol typu 1 ^{ \infty }

Niech \lim_{x \to x_0} f(x)= 1, \lim_{x \to x_0} g(x)= \infty .

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[1^ \infty ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{\ln f(x)}{ \frac{1}{g(x)} } =[ \frac{0}{0} ].

Oraz \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=[1^ \infty ]= \exp\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{ \frac{1}{\ln f(x) } } =[ \frac{ \infty }{ \infty } ].

5) Symbol typu  \infty - \infty

Niech \lim_{x \to x_0} f(x)= \infty , \lim_{x \to x_0} g(x)= \infty .

Wtedy  \lim_{x \to x_0} f(x)-{g(x)}=[ \infty - \infty ] = \lim_{x \to x_0} \frac{ \frac{1}{g(x)}- \frac{1}{f(x)} }{ \frac{1}{f(x)g(x)} } =[ \frac{0}{0} ].

Oraz \lim_{x \to x_0} f(x)-{g(x)}=[ \infty - \infty ]= \ln \lim_{x \to x_0} \frac{\exp f(x)}{ \exp g(x) } = [ \frac{ \infty }{ \infty } ].

Przekształcenie granic do postaci zwracającej symbol \frac{0}{0} lub \frac{ \infty }{ \infty } umożliwia obliczenie granicy z wykorzystaniem reguły de l'Hospitala.

Uwaga:

Wyrażenie 0 ^{0} traktowane jest jak symbol nieoznaczony jedynie w kontekście granic. W innych przypadkach najczęściej przyjmuje się, że 0 ^{0} =1, choć tak naprawdę zależy to od konkretnej sytuacji.

Uwaga:

We wszystkich powyższych przypadkach oprócz  \infty - \infty nie ma znaczenia znak nieskończoności - powyższe reguły przekształceń tyczą się zarówno + \infty jak i - \infty . W przypadku \infty - \infty gdyby druga nieskończoność była - \infty otrzymalibyśmy po prostu \infty - (-\infty)= \infty +\infty co oczywiście nie jest symbolem nieoznaczonym lecz wynosi + \infty .

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 2 =
Ostatnio komentowane
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
Legiony Polskie we Włoszech (1797)
ok
• 2024-06-05 13:52:17