Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Granice niewłaściwe definiujemy następująco:

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą $+\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach różnych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $+\infty$ .

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą $-\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach różnych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $-\infty$ .

Stosujemy oznaczenia odpowiednio $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ lub $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ .

Ponadto definiujemy też granice jednostronne:

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą prawostronną $+\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach większych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $+\infty$ .

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą lewostronną $+\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach mniejszych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $+\infty$ .

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą prawostronną $-\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach większych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $-\infty$ .

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą lewostronną $-\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach mniejszych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $-\infty$ .

Stosujemy odpowiednie oznaczenia:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$ , $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$ , $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$ , $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$ .

Ponadto pisać będziemy też:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+$ gdy $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ oraz $f(x) > 0$ w sąsiedztwie punktu $x_0$ ,

$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0^-$ gdy $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ oraz $f(x) < 0$ w sąsiedztwie punktu $x_0$ .

Do obliczania granic niewłaściwych wykorzystywane jest następujące twierdzenie:

Jeśli $\lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) > 0$ to $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty$ .

Jeśli $\lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) < 0$ to $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty$ .

Jeśli $\lim_{x \to x^0} f(x) = 0^-$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) > 0$ to $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty$ .

Jeśli $\lim_{x \to x^0} f(x) = 0^-$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) < 0$ to $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty$ .

Przykład:

$\lim_{x \to 3^+} \frac{x-2}{x^2-9} = [\frac1{0^+}] = +\infty$

$\lim_{x \to 3^+} \frac{x-5}{x^2-9} = [\frac{-2}{0^+}]=-\infty$

Zadania:

Znaleźć granice $\lim_{x \to 5^+} \frac{1-x}{5-x}$ i $\lim_{x \to 5^-} \frac{1-x}{5-x}$ .

Odpowiedzi:

Granice wynoszą odpowiednio $+\infty$ i $-\infty$ .

Polecamy również:

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak też dla funkcji określone zostały pewne fakty ułatwiające znajdowanie ich granic. Więcej »
Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Więcej »
Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Dla funkcji, podobnie jak dla ciągów, również rozpatrujemy granice w nieskończoności. Więcej »
Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczona są wyrażeniami, na które możemy natrafić podczas wyznaczania granic. Zaliczamy do nich następujące wyrażenia... Więcej »
Reguła de l'Hospitala

Twierdzenie de l'Hospitala jest wygodnym sposobem liczenia pewnych granic. W tym celu posługujemy się pochodnymi. Więcej »

Komentarze (0)

Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Przykład:

Zadania:

Odpowiedzi:

Polecamy również:

Zobacz również

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Symbole nieoznaczone

Reguła de l'Hospitala

Losowe zadania

Zapisz równania reakcji dla przemian przedstawionych na schemacie stosując wzory grupowe

Oblicz ile zanieczyszconego węgliku wapnia potrzeba do otrzymania etynu

Co jest bardziej prawdopodobne?

Osiem błogosławieństw

Podaj typ zdania współrzędnie złożonego