Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Granice niewłaściwe definiujemy następująco:

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą $+\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach różnych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $+\infty$ .

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą $-\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach różnych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $-\infty$ .

Stosujemy oznaczenia odpowiednio $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ lub $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ .

Ponadto definiujemy też granice jednostronne:

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą prawostronną $+\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach większych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $+\infty$ .

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą lewostronną $+\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach mniejszych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $+\infty$ .

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą prawostronną $-\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach większych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $-\infty$ .

Def.: Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą lewostronną $-\infty$ jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ o wyrazach mniejszych od $x_0$ ciąg $(f(x_n))$ jest rozbieżny do $-\infty$ .

Stosujemy odpowiednie oznaczenia:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$ , $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$ , $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$ , $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$ .

Ponadto pisać będziemy też:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+$ gdy $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ oraz $f(x) > 0$ w sąsiedztwie punktu $x_0$ ,

$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0^-$ gdy $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ oraz $f(x) < 0$ w sąsiedztwie punktu $x_0$ .

Do obliczania granic niewłaściwych wykorzystywane jest następujące twierdzenie:

Jeśli $\lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) > 0$ to $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty$ .

Jeśli $\lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) < 0$ to $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty$ .

Jeśli $\lim_{x \to x^0} f(x) = 0^-$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) > 0$ to $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty$ .

Jeśli $\lim_{x \to x^0} f(x) = 0^-$ i $\lim_{x \to x_0} g(x) < 0$ to $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty$ .

Przykład:

$\lim_{x \to 3^+} \frac{x-2}{x^2-9} = [\frac1{0^+}] = +\infty$

$\lim_{x \to 3^+} \frac{x-5}{x^2-9} = [\frac{-2}{0^+}]=-\infty$

Zadania:

Znaleźć granice $\lim_{x \to 5^+} \frac{1-x}{5-x}$ i $\lim_{x \to 5^-} \frac{1-x}{5-x}$ .

Odpowiedzi:

Granice wynoszą odpowiednio $+\infty$ i $-\infty$ .

Polecamy również:

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak też dla funkcji określone zostały pewne fakty ułatwiające znajdowanie ich granic. Więcej »
Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Więcej »
Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Dla funkcji, podobnie jak dla ciągów, również rozpatrujemy granice w nieskończoności. Więcej »
Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczona są wyrażeniami, na które możemy natrafić podczas wyznaczania granic. Zaliczamy do nich następujące wyrażenia... Więcej »
Reguła de l'Hospitala

Twierdzenie de l'Hospitala jest wygodnym sposobem liczenia pewnych granic. W tym celu posługujemy się pochodnymi. Więcej »

Komentarze (0)

Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Przykład:

Zadania:

Odpowiedzi:

Polecamy również:

Zobacz również

Obliczanie granicy funkcji – przykłady, zadania

Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady

Symbole nieoznaczone

Reguła de l'Hospitala

Losowe zadania

Zaproponuj sposób zbierania podanych gazów uwzględniajac ich właściwości fizykochemiczne

Oblicz sumaryczną objętość gazów wydzieloną na elektrodach podczas przepływu 3 moli elektronów przez elektrolizer

Zbiorniki wodne na rzekach w Polsce

Oblicz masę molową gazu

Główne składniki krwi