Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Granice niewłaściwe definiujemy następująco: 

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach różnych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach różnych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Stosujemy oznaczenia odpowiednio  \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty lub  \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty.

 

Ponadto definiujemy też granice jednostronne:

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą prawostronną +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach większych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą lewostronną +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach mniejszych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą prawostronną -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach większych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą lewostronną -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach mniejszych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Stosujemy odpowiednie oznaczenia:

 \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty,  \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty.

 

Ponadto pisać będziemy też:

 \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+ gdy  \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 oraz f(x) > 0 w sąsiedztwie punktu x_0,

 \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^-  gdy  \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 oraz f(x) < 0 w sąsiedztwie punktu x_0.

 

Do obliczania granic niewłaściwych wykorzystywane jest następujące twierdzenie:

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+ \lim_{x \to x_0} g(x) > 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+ \lim_{x \to x_0} g(x) < 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^- \lim_{x \to x_0} g(x) > 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^- \lim_{x \to x_0} g(x) < 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty.

 

Przykład:

 \lim_{x \to 3^+} \frac{x-2}{x^2-9} = [\frac1{0^+}] = +\infty 

 

 \lim_{x \to 3^+} \frac{x-5}{x^2-9} = [\frac{-2}{0^+}]=-\infty

 

 

Zadania:

Znaleźć granice  \lim_{x \to 5^+} \frac{1-x}{5-x} i  \lim_{x \to 5^-} \frac{1-x}{5-x}.

 

Odpowiedzi:

Granice wynoszą odpowiednio +\infty-\infty.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 2 =
Ostatnio komentowane
ok
• 2024-05-20 16:01:25
W filmie nie ma ochronki, Ale strzały do robotników
• 2024-05-18 14:53:16
łatwe
• 2024-05-16 19:37:20
Przydatny na po prawe oceny z historii
• 2024-05-15 14:52:53