Granice niewłaściwe definiujemy następująco:
Def.: Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę niewłaściwą \(+\infty\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach różnych od \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(+\infty\).
Def.: Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę niewłaściwą \(-\infty\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach różnych od \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(-\infty\).
Stosujemy oznaczenia odpowiednio \( \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty\) lub \( \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty\).
Ponadto definiujemy też granice jednostronne:
Def.: Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę niewłaściwą prawostronną \(+\infty\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach większych od \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(+\infty\).
Def.: Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę niewłaściwą lewostronną \(+\infty\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach mniejszych od \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(+\infty\).
Def.: Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę niewłaściwą prawostronną \(-\infty\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach większych od \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(-\infty\).
Def.: Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę niewłaściwą lewostronną \(-\infty\) jeśli dla każdego ciągu \((x_n)\) zbieżnego do \(x_0\) o wyrazach mniejszych od \(x_0\) ciąg \((f(x_n))\) jest rozbieżny do \(-\infty\).
Stosujemy odpowiednie oznaczenia:
\( \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty\), \( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty\), \( \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty\), \( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty\).
Ponadto pisać będziemy też:
\( \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+\) gdy \( \lim_{x \to x_0} f(x) = 0\) oraz \(f(x) > 0 \) w sąsiedztwie punktu \(x_0\),
\( \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^-\) gdy \( \lim_{x \to x_0} f(x) = 0\) oraz \(f(x) < 0 \) w sąsiedztwie punktu \(x_0\).
Do obliczania granic niewłaściwych wykorzystywane jest następujące twierdzenie:
Jeśli \( \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+\) i \( \lim_{x \to x_0} g(x) > 0\) to \( \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty\).
Jeśli \( \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+\) i \( \lim_{x \to x_0} g(x) < 0\) to \( \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty\).
Jeśli \( \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^-\) i \( \lim_{x \to x_0} g(x) > 0\) to \( \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty\).
Jeśli \( \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^-\) i \( \lim_{x \to x_0} g(x) < 0\) to \( \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty\).
Przykład:
\( \lim_{x \to 3^+} \frac{x-2}{x^2-9} = [\frac1{0^+}] = +\infty\)
\( \lim_{x \to 3^+} \frac{x-5}{x^2-9} = [\frac{-2}{0^+}]=-\infty\)
Zadania:
Znaleźć granice \( \lim_{x \to 5^+} \frac{1-x}{5-x}\) i \( \lim_{x \to 5^-} \frac{1-x}{5-x}\).
Odpowiedzi:
Granice wynoszą odpowiednio \(+\infty\) i \(-\infty\).