Granice niewłaściwe definiujemy następująco:
Def.: Funkcja ma w punkcie
granicę niewłaściwą
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach różnych od
ciąg
jest rozbieżny do
.
Def.: Funkcja ma w punkcie
granicę niewłaściwą
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach różnych od
ciąg
jest rozbieżny do
.
Stosujemy oznaczenia odpowiednio lub
.
Ponadto definiujemy też granice jednostronne:
Def.: Funkcja ma w punkcie
granicę niewłaściwą prawostronną
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach większych od
ciąg
jest rozbieżny do
.
Def.: Funkcja ma w punkcie
granicę niewłaściwą lewostronną
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach mniejszych od
ciąg
jest rozbieżny do
.
Def.: Funkcja ma w punkcie
granicę niewłaściwą prawostronną
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach większych od
ciąg
jest rozbieżny do
.
Def.: Funkcja ma w punkcie
granicę niewłaściwą lewostronną
jeśli dla każdego ciągu
zbieżnego do
o wyrazach mniejszych od
ciąg
jest rozbieżny do
.
Stosujemy odpowiednie oznaczenia:
,
,
,
.
Ponadto pisać będziemy też:
gdy
oraz
w sąsiedztwie punktu
,
gdy
oraz
w sąsiedztwie punktu
.
Do obliczania granic niewłaściwych wykorzystywane jest następujące twierdzenie:
Jeśli i
to
.
Jeśli i
to
.
Jeśli i
to
.
Jeśli i
to
.
Przykład:
Zadania:
Znaleźć granice i
.
Odpowiedzi:
Granice wynoszą odpowiednio i
.