Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Granice niewłaściwe definiujemy następująco: 

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach różnych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach różnych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Stosujemy oznaczenia odpowiednio  \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty lub  \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty.

 

Ponadto definiujemy też granice jednostronne:

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą prawostronną +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach większych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą lewostronną +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach mniejszych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą prawostronną -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach większych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą lewostronną -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach mniejszych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Stosujemy odpowiednie oznaczenia:

 \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty,  \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty.

 

Ponadto pisać będziemy też:

 \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+ gdy  \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 oraz f(x) > 0 w sąsiedztwie punktu x_0,

 \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^-  gdy  \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 oraz f(x) < 0 w sąsiedztwie punktu x_0.

 

Do obliczania granic niewłaściwych wykorzystywane jest następujące twierdzenie:

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+ \lim_{x \to x_0} g(x) > 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+ \lim_{x \to x_0} g(x) < 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^- \lim_{x \to x_0} g(x) > 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^- \lim_{x \to x_0} g(x) < 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty.

 

Przykład:

 \lim_{x \to 3^+} \frac{x-2}{x^2-9} = [\frac1{0^+}] = +\infty 

 

 \lim_{x \to 3^+} \frac{x-5}{x^2-9} = [\frac{-2}{0^+}]=-\infty

 

 

Zadania:

Znaleźć granice  \lim_{x \to 5^+} \frac{1-x}{5-x} i  \lim_{x \to 5^-} \frac{1-x}{5-x}.

 

Odpowiedzi:

Granice wynoszą odpowiednio +\infty-\infty.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 1 =
Ostatnio komentowane
Ten wykres jest zły. Połączenie przemian 3 i 4 w taki sposób jest niedopuszczalne i my...
Mr G. • 2021-01-23 12:33:29
2
kk • 2021-01-22 14:02:14
czasownik Amerykę osoba liczba czas rodzaj ...
maja kaja • 2021-01-22 12:34:31
Frankowi- germański lud barbarzyński.
ANONIM • 2021-01-22 11:10:48
nieeeeee pomocneeeee
ja bo kto inny • 2021-01-22 09:16:29