Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci \(f(x) = \log_a{x}\), przy czym jest ona określona tylko dla argumentów dodatnich oraz \(a>0\), \(a \neq 1\).
Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich, zaś jej zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych.
Miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest \(x_0 = 1\), ponieważ dla dowolnego \(a\) mamy \(\log_a 1 = 0\).
Funkcja logarytmiczna jest monotoniczna, różnowartościowa, nieokresowa i ciągła w całej swojej dziedzinie.
Nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
Oś \(Y\) jest asymptotą pionową wykresu funkcji \(f(x) = \log_a x\).
Monotoniczność funkcji logarytmicznej zależy od parametru \(a\):
Gdy \(a > 1\) funkcja jest rosnąca.
Gdy \(a < 1\) funkcja jest malejąca.
Przykład:
Funkcja \(f(x) = \log_2 x\) jest rosnąca.
Funkcja \(f(x) = \log_{\frac 12} x\) jest malejąca.
Uwaga: Wykres funkcji logarytmicznej jest obrazem funkcji wykładniczej w symetrii względem prostej \(y=x\), o ile wykładnik funkcji wykładniczej i podstawa logarytmu są tą samą liczbą.
Przykład:
Dodanie (odjęcie) liczby do funkcji powoduje przesunięcie jej wykresu w górę (w dół).
Dodanie (odjęcie) liczby do argumentu funkkcji powoduje przesunięcie jej wykresu w lewo (w prawo).
Gdy przekształcimy wykres funkcji zmieni się jej miejsce zerowe. Znajdowanie nowego miejsca zerowego sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania logarytmicznego.
Przykład:
Przekształceniem funkcji \(f(x) = \ln x\) jest funkcja \(g(x)= \ln x + 2\). Znajdziemy jej miejsce zerowe.
Rozwiązujemy równanie\(\ln x+2 = 0\)
\(\ln x = -2\)
\(-2 = -2 \cdot \ln e = \ln e^{-2}\)
\(\ln x = \ln e^{-2}\)
\(x = e^{-2}\)
Zatem miejscem zerowym gunkcji \(g(x)\) jest \(x_0 = \frac 1 {e^2}\).
