Funkcja logarytmiczna – definicja, wzory, wykres, przykłady, zadania

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci $f(x) = \log_a{x}$, przy czym jest ona określona tylko dla argumentów dodatnich oraz $a>0$, $a \neq 1$.

 

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich, zaś jej zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych.

Miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest $x_0 = 1$, ponieważ dla dowolnego $a$ mamy $\log_a 1 = 0$.

 

Funkcja logarytmiczna jest monotoniczna, różnowartościowa, nieokresowa i ciągła w całej swojej dziedzinie.

Nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Oś $Y$ jest asymptotą pionową wykresu funkcji $f(x) = \log_a x$.

Monotoniczność funkcji logarytmicznej zależy od parametru $a$:

Gdy $a > 1$ funkcja jest rosnąca.

Gdy $a < 1$ funkcja jest malejąca.

 

Przykład:

Funkcja $f(x) = \log_2 x$ jest rosnąca.

 

Funkcja $f(x) = \log_{\frac 12} x$ jest malejąca.

 

 

Uwaga: Wykres funkcji logarytmicznej jest obrazem funkcji wykładniczej w symetrii względem prostej $y=x$, o ile wykładnik funkcji wykładniczej i podstawa logarytmu są tą samą liczbą.

 

Przykład: 

 

Dodanie (odjęcie) liczby do funkcji powoduje przesunięcie jej wykresu w górę (w dół).

Dodanie (odjęcie) liczby do argumentu funkkcji powoduje przesunięcie jej wykresu w lewo (w prawo).

 

Gdy przekształcimy wykres funkcji zmieni się jej miejsce zerowe. Znajdowanie nowego miejsca zerowego sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania logarytmicznego.

 

Przykład:

Przekształceniem funkcji $f(x) = \ln x$ jest funkcja $g(x)= \ln x + 2$. Znajdziemy jej miejsce zerowe.

Rozwiązujemy równanie$\ln x+2 = 0$

$\ln x = -2$

$-2 = -2 \cdot \ln e = \ln e^{-2}$

$\ln x = \ln e^{-2}$

$x = e^{-2}$

Zatem miejscem zerowym gunkcji $g(x)$ jest $x_0 = \frac 1 {e^2}$.