1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna – definicja, wzory, wykres, przykłady, zadania

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci f(x) = \log_a{x}, przy czym jest ona określona tylko dla argumentów dodatnich oraz a>0, a \neq 1.

 

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich, zaś jej zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych.

Miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest x_0 = 1, ponieważ dla dowolnego a mamy \log_a 1 = 0.

 

Funkcja logarytmiczna jest monotoniczna, różnowartościowa, nieokresowa i ciągła w całej swojej dziedzinie.

Nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Oś Y jest asymptotą pionową wykresu funkcji f(x) = \log_a x.

Monotoniczność funkcji logarytmicznej zależy od parametru a:

Gdy a > 1 funkcja jest rosnąca.

Gdy a < 1 funkcja jest malejąca.

 

Przykład:

Funkcja f(x) = \log_2 x jest rosnąca.

 

Funkcja f(x) = \log_{\frac 12} x jest malejąca.

 

 

Uwaga: Wykres funkcji logarytmicznej jest obrazem funkcji wykładniczej w symetrii względem prostej y=x, o ile wykładnik funkcji wykładniczej i podstawa logarytmu są tą samą liczbą.

 

Przykład: 

 

Dodanie (odjęcie) liczby do funkcji powoduje przesunięcie jej wykresu w górę (w dół).

Dodanie (odjęcie) liczby do argumentu funkkcji powoduje przesunięcie jej wykresu w lewo (w prawo).

 

Gdy przekształcimy wykres funkcji zmieni się jej miejsce zerowe. Znajdowanie nowego miejsca zerowego sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania logarytmicznego.

 

Przykład:

Przekształceniem funkcji f(x) = \ln x jest funkcja g(x)= \ln x + 2. Znajdziemy jej miejsce zerowe.

Rozwiązujemy równanie\ln x+2 = 0

\ln x = -2

-2 = -2 \cdot \ln e = \ln e^{-2}

\ln x = \ln e^{-2}

x = e^{-2}

Zatem miejscem zerowym gunkcji g(x) jest x_0 = \frac 1 {e^2}.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (1)
Wynik działania 5 + 2 =
Kowal
2021-11-24 18:52:36
Spoko
Ostatnio komentowane
Dowód nie wprost
bazinga
• 2024-09-12 14:55:28
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33