Funkcja logarytmiczna – definicja, wzory, wykres, przykłady, zadania

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci $f(x) = \log_a{x}$ , przy czym jest ona określona tylko dla argumentów dodatnich oraz $a>0$ , $a \neq 1$ .

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich, zaś jej zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych.

Miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest $x_0 = 1$ , ponieważ dla dowolnego $a$ mamy $\log_a 1 = 0$ .

Funkcja logarytmiczna jest monotoniczna, różnowartościowa, nieokresowa i ciągła w całej swojej dziedzinie.

Nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Oś $Y$ jest asymptotą pionową wykresu funkcji $f(x) = \log_a x$ .

Monotoniczność funkcji logarytmicznej zależy od parametru $a$ :

Gdy $a > 1$ funkcja jest rosnąca.

Gdy $a < 1$ funkcja jest malejąca.

Przykład:

Funkcja $f(x) = \log_2 x$ jest rosnąca.

Funkcja $f(x) = \log_{\frac 12} x$ jest malejąca.

Uwaga: Wykres funkcji logarytmicznej jest obrazem funkcji wykładniczej w symetrii względem prostej $y=x$ , o ile wykładnik funkcji wykładniczej i podstawa logarytmu są tą samą liczbą.

Przykład:

Dodanie (odjęcie) liczby do funkcji powoduje przesunięcie jej wykresu w górę (w dół).

Dodanie (odjęcie) liczby do argumentu funkkcji powoduje przesunięcie jej wykresu w lewo (w prawo).

Gdy przekształcimy wykres funkcji zmieni się jej miejsce zerowe. Znajdowanie nowego miejsca zerowego sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania logarytmicznego.

Przykład:

Przekształceniem funkcji $f(x) = \ln x$ jest funkcja $g(x)= \ln x + 2$ . Znajdziemy jej miejsce zerowe.

Rozwiązujemy równanie $\ln x+2 = 0$

$\ln x = -2$

$-2 = -2 \cdot \ln e = \ln e^{-2}$

$\ln x = \ln e^{-2}$

$x = e^{-2}$

Zatem miejscem zerowym gunkcji $g(x)$ jest $x_0 = \frac 1 {e^2}$ .

Polecamy również:

Własności funkcji

Podstawowymi własnościami funkcji są monotoniczność, ograniczoność, okresowość, różnowartościowość, parzystość oraz ciągłość. Więcej »
Funkcja liniowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcja liniowa, to funkcja, której wykresem jest linia prosta. Jest ona zadana równaniem liniowy. Więcej »
Funkcja kwadratowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcja kwadratowa to funkcja, której wykresem jest parabola. Jest ona zadana przez równanie kwadratowe. Więcej »
Funkcja wielomianowa – definicja, własności, wykres

Funkcja wielomianowa jest funkcją zadaną przez pewien wielomian. Więcej »
Funkcja wykładnicza – własności, przykłady, wykres, zadania

Funkcja wykładnicza jest funkcją zadaną przez równanie wykładnicze. Więcej »

Komentarze (1)

Kowal

2021-11-24 18:52:36

Spoko

Funkcja logarytmiczna – definicja, wzory, wykres, przykłady, zadania

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Własności funkcji

Funkcja liniowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcja kwadratowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcja wielomianowa – definicja, własności, wykres

Funkcja wykładnicza – własności, przykłady, wykres, zadania

Losowe zadania

Uszereguj sprzężone zasady zgodnie z malejącą mocą

Narysuj wzory półstrukturalne kwasu glutaminowego w punkcie izoelektrycznym i zmiennym pH

Proporcje w zadaniach tekstowych

Wpływ Morza Bałtyckiego na klimat Żuław Wiślanych

Odpowiedz jak zmieni się pH roztworu buforowego