Suma ciągu geometrycznego – wzór, dowód, przykłady, zadania

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (o ilorazie różnym od \(1\)) wyznaczyć możemy ze wzoru \(S_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q}\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem tego ciągu, natomiast \(q\) jego ilorazem.

 

Dowód:

Chcemy policzyć sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, rozpiszmy więc ją i przekształćmy, korzystając z wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:

\(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = a_1 + a_1 q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1}\)

Pomnożmy teraz obie strony tej równości przez iloraz tego ciągu.

 

\(S_nq = a_1q + a_1 q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^n\)

Teraz odejmijmy stronami drugą równość od pierwszej:

\(S_n - S_nq = a_1 - a_1q^n\)

\(S_n(1 - q) = a_1(1-q^n)\)

Ostatecznie więc

\(S_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q}\), co było do pokazania.

 

Przykład:

Policzyć sumę pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem \(a_n = 3\cdot2^{n-1}\).

Zauważmy wpierw, że \(a_1 = 3\)\(q = 2\). Podstawiamy do wzoru otrzymując

\(S_5 = 3 \cdot \frac {1-2^5}{1-2} = 3 \cdot \frac {1-32}{-1} = 3\cdot 31 = 93\).

 

Zadanie:

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(5\), a jego iloraz wynosi \(2\). Ile pierwszych wyrazów tego ciągu należy zsumować aby otrzymać \(635\)?

 

 

Rozwiązanie:

Należy dodać \(7\) początkowych wyrazów tego ciągu.

Polecamy również:

Komentarze (1)
Wynik działania 4 + 4 =
Eto Demerzel
2019-07-15 07:25:47
Bardzo fajne, proste wyprowadzenie wzoru.
Ostatnio komentowane
Fajnie, dziękuję
• 2025-02-13 21:09:19
nie wiem po co takie łatwe działanie
• 2025-02-04 15:03:23
W planie wydarzeń punkt 1 i 2 powinny być zamienione miejscami.
• 2025-01-29 19:30:27
Jest tu zawarte wiele niezbędnych oraz interesujących informacji o twórcy i artyście jakim...
• 2025-01-26 10:13:01
To ja ola
• 2025-01-20 14:10:30