Suma ciągu geometrycznego – wzór, dowód, przykłady, zadania

Sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (o ilorazie różnym od $1$ ) wyznaczyć możemy ze wzoru $S_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q}$ , gdzie $a_1$ jest pierwszym wyrazem tego ciągu, natomiast $q$ jego ilorazem.

Dowód:

Chcemy policzyć sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, rozpiszmy więc ją i przekształćmy, korzystając z wzoru ogólnego na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego:

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = a_1 + a_1 q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1}$

Pomnożmy teraz obie strony tej równości przez iloraz tego ciągu.

$S_nq = a_1q + a_1 q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^n$

Teraz odejmijmy stronami drugą równość od pierwszej:

$S_n - S_nq = a_1 - a_1q^n$

$S_n(1 - q) = a_1(1-q^n)$

Ostatecznie więc

$S_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q}$ , co było do pokazania.

Przykład:

Policzyć sumę pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem $a_n = 3\cdot2^{n-1}$ .

Zauważmy wpierw, że $a_1 = 3$ , $q = 2$ . Podstawiamy do wzoru otrzymując

$S_5 = 3 \cdot \frac {1-2^5}{1-2} = 3 \cdot \frac {1-32}{-1} = 3\cdot 31 = 93$ .

Zadanie:

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy $5$ , a jego iloraz wynosi $2$ . Ile pierwszych wyrazów tego ciągu należy zsumować aby otrzymać $635$ ?

Rozwiązanie:

Należy dodać $7$ początkowych wyrazów tego ciągu.

Polecamy również:

Ciąg geometryczny – wyrazy sąsiednie

Podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego również połączone są ze sobą pewną zależnością. Więcej »

Komentarze (1)

Eto Demerzel

2019-07-15 07:25:47

Bardzo fajne, proste wyprowadzenie wzoru.

Suma ciągu geometrycznego – wzór, dowód, przykłady, zadania

Dowód:

Przykład:

Zadanie:

Rozwiązanie:

Polecamy również:

Zobacz również

Ciąg geometryczny – wyrazy sąsiednie

Losowe zadania

Funkcje parapodium

Transkrypcja i translacja

Obliczanie albedo

III zasada dynamiki-tarcie

Zapoznaj się z opisem pewnego związku i zdidentyfikuj go