Sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (o ilorazie różnym od
) wyznaczyć możemy ze wzoru
, gdzie
jest pierwszym wyrazem tego ciągu, natomiast
jego ilorazem.
Dowód:
Chcemy policzyć sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, rozpiszmy więc ją i przekształćmy, korzystając z wzoru ogólnego na
-ty wyraz ciągu geometrycznego:
Pomnożmy teraz obie strony tej równości przez iloraz tego ciągu.
Teraz odejmijmy stronami drugą równość od pierwszej:
Ostatecznie więc
, co było do pokazania.
Przykład:
Policzyć sumę pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem .
Zauważmy wpierw, że ,
. Podstawiamy do wzoru otrzymując
.
Zadanie:
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy , a jego iloraz wynosi
. Ile pierwszych wyrazów tego ciągu należy zsumować aby otrzymać
?
Rozwiązanie:
Należy dodać początkowych wyrazów tego ciągu.