Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (o ilorazie różnym od \(1\)) wyznaczyć możemy ze wzoru \(S_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q}\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem tego ciągu, natomiast \(q\) jego ilorazem.
Dowód:
Chcemy policzyć sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, rozpiszmy więc ją i przekształćmy, korzystając z wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = a_1 + a_1 q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1}\)
Pomnożmy teraz obie strony tej równości przez iloraz tego ciągu.
\(S_nq = a_1q + a_1 q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^n\)
Teraz odejmijmy stronami drugą równość od pierwszej:
\(S_n - S_nq = a_1 - a_1q^n\)
\(S_n(1 - q) = a_1(1-q^n)\)
Ostatecznie więc
\(S_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q}\), co było do pokazania.
Przykład:
Policzyć sumę pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem \(a_n = 3\cdot2^{n-1}\).
Zauważmy wpierw, że \(a_1 = 3\), \(q = 2\). Podstawiamy do wzoru otrzymując
\(S_5 = 3 \cdot \frac {1-2^5}{1-2} = 3 \cdot \frac {1-32}{-1} = 3\cdot 31 = 93\).
Zadanie:
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(5\), a jego iloraz wynosi \(2\). Ile pierwszych wyrazów tego ciągu należy zsumować aby otrzymać \(635\)?
Rozwiązanie:
Należy dodać \(7\) początkowych wyrazów tego ciągu.