Ciąg geometryczny – wyrazy sąsiednie

Podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego również połączone są ze sobą pewną zależnością. Zastrzeżenie jest jednak takie, że poniższa własność prawdziwa jest jedynie dla ciągów o wyrazach dodatnich.

 

W ciągu geometrycznym każdy wyraz począwszy od drugiego jest średnią geometryczną wyrazów z nim sąsiadujących:

\(a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\).

Ogólnie natomiast (tj. dla wszystkich ciągów geometrycznych, także tych o wyrazach ujemnych) mamy

\(a_n^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1}\).

 

Wyprowadzenie:

Wypiszmy wzory ogólne trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego: 

\(a_{n-1} = a_1 \cdot q^{n-2}\)

\(a_{n} = a_1 \cdot q^{n-1}\)

\(a_{n+1} = a_1 \cdot q^{n}\)

Pomnożenie pierwszego i trzeciego z tych wyrazów prowadzi nas do wyniku powyższego twierdzenia:

\(a_{n-1}\cdot a_{n+1} = a_1 \cdot q^{n-2}\cdot a_1 \cdot q^n = a_1^2 \cdot q^{n-1} \cdot q^{n-1} = (a_1 \cdot q^{n})^2 = a_n^2\)

A jeśli \(a_{n-1}\)\(a_n\)\(a_{n+1}\) są dodatnie dla każdego \(n\) możemy zapisać

\(a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\).

 

Przykład:

Liczby \(x = 4\)\(y\)\(z = 16\) tworzą ciąg geometryczny. Jaką liczbą jest \(y\)?

Skorzystajmy z opisanej wyżej zależności, mianowicie \(y^2 = 4\cdot16 = 64\). Możliwe są dwie sytuacje, kiedy iloraz ciągu jest liczbą dodatnią \(y = 8\), natomiast kiedy iloraz ciągu jest liczbą ujemną \(y = -8\).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 4 =
Ostatnio komentowane
dzięki
• 2025-03-10 15:14:41
bardzo to działanie łatwe
• 2025-03-03 13:00:02
Jest nad czym myśleć. PEŁEN POZYTYW.
• 2025-03-02 12:32:53
pozdro mika
• 2025-02-24 20:08:01
dzięki
• 2025-02-24 09:56:27