Podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego również połączone są ze sobą pewną zależnością. Zastrzeżenie jest jednak takie, że poniższa własność prawdziwa jest jedynie dla ciągów o wyrazach dodatnich.
W ciągu geometrycznym każdy wyraz począwszy od drugiego jest średnią geometryczną wyrazów z nim sąsiadujących:
\(a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\).
Ogólnie natomiast (tj. dla wszystkich ciągów geometrycznych, także tych o wyrazach ujemnych) mamy
\(a_n^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1}\).
Wyprowadzenie:
Wypiszmy wzory ogólne trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego:
\(a_{n-1} = a_1 \cdot q^{n-2}\)
\(a_{n} = a_1 \cdot q^{n-1}\)
\(a_{n+1} = a_1 \cdot q^{n}\)
Pomnożenie pierwszego i trzeciego z tych wyrazów prowadzi nas do wyniku powyższego twierdzenia:
\(a_{n-1}\cdot a_{n+1} = a_1 \cdot q^{n-2}\cdot a_1 \cdot q^n = a_1^2 \cdot q^{n-1} \cdot q^{n-1} = (a_1 \cdot q^{n})^2 = a_n^2\)
A jeśli \(a_{n-1}\), \(a_n\) i \(a_{n+1}\) są dodatnie dla każdego \(n\) możemy zapisać
\(a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\).
Przykład:
Liczby \(x = 4\), \(y\), \(z = 16\) tworzą ciąg geometryczny. Jaką liczbą jest \(y\)?
Skorzystajmy z opisanej wyżej zależności, mianowicie \(y^2 = 4\cdot16 = 64\). Możliwe są dwie sytuacje, kiedy iloraz ciągu jest liczbą dodatnią \(y = 8\), natomiast kiedy iloraz ciągu jest liczbą ujemną \(y = -8\).