Oprócz postaci algebraicznej oraz trygonometrycznej liczby zespolone posiadają także postać wykładniczą.
Postacią wykładniczą liczby \(z=a+bi=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )\) jest \(z= |z|e ^{i \alpha } \), gdzie \(e\) jest liczbą Eulera.
Przykład:
Liczba \(z= \sqrt{3} (\cos \frac{ \pi }{4} +i\sin \frac{ \pi }{4} )\) w postaci trygonometrycznej ma postać \(z = \sqrt{3} e ^{i \frac{ \pi }{4} } \).
Liczba \(z = \frac{ \sqrt{2} }{2} e ^{i \frac{ \pi }{6} } \) w postaci wykładniczej po konwersji na postać trygonometryczną to \(z= \frac{ \sqrt{2 } }{2} (\cos \frac{ \pi }{6} +i\sin \frac{ \pi }{6} )\) a po przejściu do postaci kanonicznej (algebraicznej) \(z= \frac{ \sqrt{2 } }{2} ( \frac{3}{2} +i \frac{ 1 }{2} ) = \frac{3 \sqrt{2} }{4} +i \frac{ \sqrt{2} }{4} \).
Z postaci wykładniczej jeszcze lepiej niż z postaci trygonometrycznej widać czym jest mnożenie oraz dzielenie liczb zespolonych.
Niech \(z _{1} = |z _{1} |e ^{i \alpha } \) oraz \(z _{2} = |z _{2} |e ^{i \beta } \). Wtedy
\(z _{1} \cdot z _{2} = |z _{1} |e ^{i \alpha } \cdot |z _{2} |e ^{i \beta } = |z _{1} |\cdot |z _{2} | \cdot e ^{i \alpha } \cdot e ^{i \beta } \)\(= |z _{1} |\cdot |z _{2} | \cdot e ^{i (\alpha + \beta )}\),
\( \frac{ z _{1} }{ z _{2}} = \frac{|z _{1} |e ^{i \alpha } }{ |z _{2} |e ^{i \beta } } = \frac{|z _{1} |}{ |z _{2} |} \cdot e ^{i (\alpha - \beta )} \).
A zatem mnożenie/dzielenie wykonujemy na samych modułach, podczas gdy wykładniki potęg odpowiednio dodajemy/odejmujemy.
Przykład:
Pomnóżmy ze sobą liczby \(z _{1} = e ^{i \frac{ \pi }{6} } \) i \(z _{2} = 3e ^{i \frac{ \pi }{3} } \).
\(z _{1} \cdot z _{2} = e ^{i \frac{ \pi }{6} } \cdot 3e ^{i \frac{ \pi }{3} } = 3 e ^{i (\frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi }{3} )} = 3 e ^{i \frac{ 3\pi }{6}} = 3 e ^{i \frac{ \pi }{2}} \).