Postać wykładnicza liczby zespolonej

Oprócz postaci algebraicznej oraz trygonometrycznej liczby zespolone posiadają także postać wykładniczą.

Postacią wykładniczą liczby \(z=a+bi=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )\) jest \(z= |z|e ^{i \alpha } \), gdzie \(e\) jest liczbą Eulera.

 

Przykład:

Liczba \(z= \sqrt{3} (\cos \frac{ \pi }{4} +i\sin \frac{ \pi }{4} )\) w postaci trygonometrycznej ma postać \(z = \sqrt{3} e ^{i \frac{ \pi }{4} } \).

Liczba \(z = \frac{ \sqrt{2} }{2} e ^{i \frac{ \pi }{6} } \) w postaci wykładniczej po konwersji na postać trygonometryczną to \(z= \frac{ \sqrt{2 } }{2} (\cos \frac{ \pi }{6} +i\sin \frac{ \pi }{6} )\) a po przejściu do postaci kanonicznej (algebraicznej) \(z= \frac{ \sqrt{2 } }{2} ( \frac{3}{2} +i \frac{ 1 }{2} ) = \frac{3 \sqrt{2} }{4} +i \frac{ \sqrt{2} }{4} \).

 

Z postaci wykładniczej jeszcze lepiej niż z postaci trygonometrycznej widać czym jest mnożenie oraz dzielenie liczb zespolonych.

Niech \(z _{1} = |z _{1} |e ^{i \alpha } \) oraz \(z _{2} = |z _{2} |e ^{i \beta } \). Wtedy

\(z _{1} \cdot z _{2} = |z _{1} |e ^{i \alpha } \cdot |z _{2} |e ^{i \beta } = |z _{1} |\cdot |z _{2} | \cdot e ^{i \alpha } \cdot e ^{i \beta } \)\(= |z _{1} |\cdot |z _{2} | \cdot e ^{i (\alpha + \beta )}\),

\( \frac{ z _{1} }{ z _{2}} = \frac{|z _{1} |e ^{i \alpha } }{ |z _{2} |e ^{i \beta } } = \frac{|z _{1} |}{ |z _{2} |} \cdot e ^{i (\alpha - \beta )} \).

A zatem mnożenie/dzielenie wykonujemy na samych modułach, podczas gdy wykładniki potęg odpowiednio dodajemy/odejmujemy.

 

Przykład:

Pomnóżmy ze sobą liczby \(z _{1} = e ^{i \frac{ \pi }{6} } \)\(z _{2} = 3e ^{i \frac{ \pi }{3} } \).

\(z _{1} \cdot z _{2} = e ^{i \frac{ \pi }{6} } \cdot 3e ^{i \frac{ \pi }{3} } = 3 e ^{i (\frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi }{3} )} = 3 e ^{i \frac{ 3\pi }{6}} = 3 e ^{i \frac{ \pi }{2}} \).

Polecamy również:

  • Wzór Eulera

    Z postacią wykładniczą liczb zespolonych związany jest pewien wzór, uznawany często za najpiękniejszy wzór matematyki... Więcej »

Komentarze (2)
Wynik działania 3 + 2 =
STUDENT INFORMATYKI
2022-02-04 15:51:52
A tak w ogóle studiuje informatykę na prestiżowej uczelni i nie mam znajomych ale nauka to moja najlepsza przyjaciółka. Captcha: Wynik działania 1 + 7 = 8
Student Informatyki
2022-02-04 15:45:38
W przykładzie wdarł się mały błąd. cos π/6 = cos 30° = sqrt(3)/2
Ostatnio komentowane
fajny przydatny tekst
• 2025-04-27 18:43:52
ale banalne
• 2025-04-09 16:07:25
Może być
• 2025-03-27 18:35:05
siema mega fajne
• 2025-03-22 08:47:31
dzięki
• 2025-03-10 15:14:41