Postać wykładnicza liczby zespolonej

Oprócz postaci algebraicznej oraz trygonometrycznej liczby zespolone posiadają także postać wykładniczą.

Postacią wykładniczą liczby $z=a+bi=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ jest $z= |z|e ^{i \alpha }$ , gdzie $e$ jest liczbą Eulera.

Przykład:

Liczba $z= \sqrt{3} (\cos \frac{ \pi }{4} +i\sin \frac{ \pi }{4} )$ w postaci trygonometrycznej ma postać $z = \sqrt{3} e ^{i \frac{ \pi }{4} }$ .

Liczba $z = \frac{ \sqrt{2} }{2} e ^{i \frac{ \pi }{6} }$ w postaci wykładniczej po konwersji na postać trygonometryczną to $z= \frac{ \sqrt{2 } }{2} (\cos \frac{ \pi }{6} +i\sin \frac{ \pi }{6} )$ a po przejściu do postaci kanonicznej (algebraicznej) $z= \frac{ \sqrt{2 } }{2} ( \frac{3}{2} +i \frac{ 1 }{2} ) = \frac{3 \sqrt{2} }{4} +i \frac{ \sqrt{2} }{4}$ .

Z postaci wykładniczej jeszcze lepiej niż z postaci trygonometrycznej widać czym jest mnożenie oraz dzielenie liczb zespolonych.

Niech $z _{1} = |z _{1} |e ^{i \alpha }$ oraz $z _{2} = |z _{2} |e ^{i \beta }$ . Wtedy

$z _{1} \cdot z _{2} = |z _{1} |e ^{i \alpha } \cdot |z _{2} |e ^{i \beta } = |z _{1} |\cdot |z _{2} | \cdot e ^{i \alpha } \cdot e ^{i \beta }$ $= |z _{1} |\cdot |z _{2} | \cdot e ^{i (\alpha + \beta )}$ ,

$\frac{ z _{1} }{ z _{2}} = \frac{|z _{1} |e ^{i \alpha } }{ |z _{2} |e ^{i \beta } } = \frac{|z _{1} |}{ |z _{2} |} \cdot e ^{i (\alpha - \beta )}$ .

A zatem mnożenie/dzielenie wykonujemy na samych modułach, podczas gdy wykładniki potęg odpowiednio dodajemy/odejmujemy.

Przykład:

Pomnóżmy ze sobą liczby $z _{1} = e ^{i \frac{ \pi }{6} }$ i $z _{2} = 3e ^{i \frac{ \pi }{3} }$ .

$z _{1} \cdot z _{2} = e ^{i \frac{ \pi }{6} } \cdot 3e ^{i \frac{ \pi }{3} } = 3 e ^{i (\frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi }{3} )} = 3 e ^{i \frac{ 3\pi }{6}} = 3 e ^{i \frac{ \pi }{2}}$ .

Polecamy również:

Wzór Eulera

Z postacią wykładniczą liczb zespolonych związany jest pewien wzór, uznawany często za najpiękniejszy wzór matematyki... Więcej »

Komentarze (2)

STUDENT INFORMATYKI

2022-02-04 15:51:52

A tak w ogóle studiuje informatykę na prestiżowej uczelni i nie mam znajomych ale nauka to moja najlepsza przyjaciółka. Captcha: Wynik działania 1 + 7 = 8

Student Informatyki

2022-02-04 15:45:38

W przykładzie wdarł się mały błąd. cos π/6 = cos 30° = sqrt(3)/2

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Przykład:

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Wzór Eulera

Losowe zadania

Funkcje parapodium

Transkrypcja i translacja

Obliczanie albedo

III zasada dynamiki-tarcie

Zapoznaj się z opisem pewnego związku i zdidentyfikuj go