Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Oprócz postaci algebraicznej oraz trygonometrycznej liczby zespolone posiadają także postać wykładniczą.

Postacią wykładniczą liczby z=a+bi=|z|(\cos  \alpha  +i\sin  \alpha ) jest z= |z|e ^{i \alpha } , gdzie e jest liczbą Eulera.

 

Przykład:

Liczba z= \sqrt{3} (\cos   \frac{ \pi }{4}   +i\sin  \frac{ \pi }{4} ) w postaci trygonometrycznej ma postać z =  \sqrt{3} e ^{i \frac{ \pi }{4} } .

Liczba z =   \frac{ \sqrt{2} }{2} e ^{i \frac{ \pi }{6} } w postaci wykładniczej po konwersji na postać trygonometryczną to z=  \frac{ \sqrt{2 } }{2}  (\cos   \frac{ \pi }{6}   +i\sin  \frac{ \pi }{6} ) a po przejściu do postaci kanonicznej (algebraicznej) z=  \frac{ \sqrt{2 } }{2}  ( \frac{3}{2}    +i  \frac{ 1 }{2} )
= \frac{3 \sqrt{2} }{4}    +i  \frac{  \sqrt{2}  }{4} .

 

Z postaci wykładniczej jeszcze lepiej niż z postaci trygonometrycznej widać czym jest mnożenie oraz dzielenie liczb zespolonych.

Niech z _{1} = |z _{1} |e ^{i \alpha } oraz z _{2} = |z _{2} |e ^{i  \beta  } . Wtedy

z _{1}  \cdot  z _{2} = |z _{1} |e ^{i \alpha }  \cdot  |z _{2} |e ^{i \beta  } 
= |z _{1} |\cdot  |z _{2} | \cdot e ^{i \alpha }   \cdot e ^{i \beta  } 
= |z _{1} |\cdot  |z _{2} | \cdot e ^{i (\alpha + \beta )},

 \frac{ z _{1}  }{ z _{2}} =  \frac{|z _{1} |e ^{i \alpha }  }{  |z _{2} |e ^{i \beta  } }
=  \frac{|z _{1} |}{  |z _{2} |}  \cdot e ^{i (\alpha - \beta  )} 
.

A zatem mnożenie/dzielenie wykonujemy na samych modułach, podczas gdy wykładniki potęg odpowiednio dodajemy/odejmujemy.

 

Przykład:

Pomnóżmy ze sobą liczby z _{1} = e ^{i  \frac{ \pi }{6}  } z _{2} = 3e ^{i  \frac{ \pi }{3}  } .

z _{1}  \cdot  z _{2} = e ^{i  \frac{ \pi }{6} }  \cdot 3e ^{i  \frac{ \pi }{3}   } 
= 3 e ^{i  (\frac{ \pi }{6} +  \frac{ \pi }{3} )} 
= 3 e ^{i  \frac{ 3\pi }{6}} 
= 3 e ^{i  \frac{ \pi }{2}} 
.

Zobacz również

  • Wzór Eulera

    Z postacią wykładniczą liczb zespolonych związany jest pewien wzór, uznawany często za najpiękniejszy wzór matematyki...

    Więcej

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
super
xxgosiaxx123456 • 2020-04-03 11:05:11
Prawie jakbym widział to, czego nie uczyłem się w szkole średniej, a być może to jes...
Aleksander • 2020-04-03 10:40:04
Łatwo
Matt • 2020-04-03 07:08:37
Tak średnio
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnm • 2020-04-02 17:32:11
ok
adfghjk • 2020-04-02 12:00:50