Z postacią wykładniczą liczb zespolonych związany jest pewien wzór, uznawany często za najpiękniejszy wzór matematyki.
Jego odkrycie zawdzięczamy Eulerowi.
Jak wiemy postacią wykładniczą liczby \(|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )\) jest \(|z|e ^{i \alpha } \), skąd wprost wynika, że
\(e ^{i \alpha } =\cos \alpha +i\sin \alpha \).
Podstawiając za \( \alpha \) kąt półpełny, a zatem w mierze radianowej \( \pi \), otrzymamy
\(e ^{i \pi } =\cos \pi +i\sin \pi \), co po wstawieniu za sinusa i cosinusa ich wartości w \( \pi \) oraz przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę da nam właśnie
Wzór Eulera
\(e ^{i \pi } +1=0\).
Nazywany najpiękniejszym wzorem matematyki.
Wzór ten łączy pięć podstawowych stałych matematycznych:
\(e\) - liczbę Eulera/Napiera będącą podstawą logarytmu naturalnego,
\( \pi \) - liczbę Pi będącą stosunkiem długości okręgu do jego średnicy,
\(i\) - jednostkę urojoną liczb zespolonych,
\(0\) - zero będące elementem neutralnym dodawania,
\(1\) - jedynkę będącą elementem neutralnym mnożenia,
A ponadto występują w nim trzy podstawowe działania (dodawanie, mnożenie i potęgowanie) oraz znak równości.
Powyższe powody sprawiają, że matematycy zachwycają się niekwestionowaną prostotą oraz pięknem tego wzoru.