1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych

Na liczbach zespolonych podobnie jak na pozostałych zbiorach liczbowych można wykonywać działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Dodawanie liczb zespolonych

Aby dodać dwie liczby zespolone musimy dodać ich części rzeczywiste oraz ich części urojone.

Jeśli z _{1} =a _{1} +b _{1} i oraz z _{2} =a _{2} +b _{2} i to z _{1} + z _{2} = (a _{1} +a _{2}) +(b _{1} + b _{2}) i.

Przykład:

Niech z _{1} =5+3i oraz z _{2} =-2i, wówczas ich sumą będzie liczba 5+3i-2i=5+i.

Odejmowanie liczb zespolonych

Aby odjąć dwie liczby zespolone należy od części rzeczywistej pierwszej z nich odjąć część rzeczywistą drugiej oraz od części urojonej pierwszej odjąć część urojoną drugiej.

Jeśli z _{1} =a _{1} +b _{1} i oraz z _{2} =a _{2} +b _{2} i to z _{1} - z _{2} = (a _{1} -a _{2}) +(b _{1} - b _{2}) i.

Przykład:

Niech z _{1} =3i oraz z _{2} =1+2i. Różnica z _{1} - z_{2} jest równa (0-1) + (3-2)i=-1+i, z kolei różnica z _{2} - z_{1} wynosi (1-0) + (2-3)i=1-i.

Mnożenie liczb zespolonych

Mnożenie liczb zespolonych przypomina mnożenie przez siebie dwóch nawiasów.

Niech z _{1} =a _{1} +b _{1} i oraz z _{2} =a _{2} +b _{2} i. Wówczas z _{1} \cdot z _{2} = (a _{1} +b _{1}i) \cdot (a _{2} + b _{2}i) = a _{1} a _{2} +a_{1}b _{2}i +a_{2} b _{1} i+b_{1}ib_{2}i

Jeśli teraz uwzględnimy to, że i \cdot i=i ^{2} =-1 otrzymamy

z _{1} \cdot z _{2} = a _{1} a _{2} +a_{1}b _{2}i +a_{2} b _{1} i - b_{1}b_{2} = (a _{1} a _{2} - b_{1}b_{2})+(a_{1}b _{2} +a_{2} b _{1}) i .

Wzór ten pokazuje na czym polega mnożenie liczb zespolonych, w praktyce jednak rzadko kiedy podstawia się do niego wartości, najczęściej po prostu wymnażamy przez siebie odpowiednie nawiasy.

Przykład:

Niech z _{1} =4-i oraz z _{2} =-2+2i. Wtedy

(4-i)(-2+2i) = -8+2i+8i-2i ^{2} =-8+10i+2=-6+10i.

Dzielenie liczb zespolonych

Aby podzielić dwie liczby zespolone zapisujemy je w postaci ułamka a następnie wykonujemy czynność przypominającą usuwnaie niewymierności z mianownika - licznik i mianownik ułamka rozszerzamy przez sprzężenie mianownika, tj. liczbę zespoloną o takiej samej części rzeczywistej ale przeciwnej części urojonej.

Niech z _{1} =a _{1} +b _{1} i oraz z _{2} =a _{2} +b _{2} i. Wówczas wynik dzielenia pierwszej z tych liczb przez drugą znajdziemy wykonując następujące rozszerzenie ułamka:

\frac{z _{1} }{z _{2} } = \frac{a_{1}+b_{1}i}{a_{2}+b_{2}i} \cdot \frac{a_{2}-b_{2}i}{a_{2}-b_{2}i} .

Przykład:

Niech z _{1} =2-2i oraz z _{2} =1+3i.

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2-2i}{1+3i} \cdot \frac{1-3i}{1-3i} = \frac{2-6i-2i+6i ^{2} }{1-3i+3i-9i ^{2} } = \frac{2-8i-6 }{1+9 } =\frac{-4-8i }{10 } = \frac{-4 }{10 }-\frac{8 }{10 } i=-0,4-0,8i.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 4 =
Ostatnio komentowane
Przywilej czerwiński (1422)
Masz
• 2024-09-27 07:49:55
Rozbicie dzielnicowe w Polsce (1138-1320)
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33