Na liczbach zespolonych podobnie jak na pozostałych zbiorach liczbowych można wykonywać działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.
Dodawanie liczb zespolonych
Aby dodać dwie liczby zespolone musimy dodać ich części rzeczywiste oraz ich części urojone.
Jeśli \(z _{1} =a _{1} +b _{1} i\) oraz \(z _{2} =a _{2} +b _{2} i\) to \(z _{1} + z _{2} = (a _{1} +a _{2}) +(b _{1} + b _{2}) i\).
Przykład:
Niech \(z _{1} =5+3i\) oraz \(z _{2} =-2i\), wówczas ich sumą będzie liczba \(5+3i-2i=5+i\).
Odejmowanie liczb zespolonych
Aby odjąć dwie liczby zespolone należy od części rzeczywistej pierwszej z nich odjąć część rzeczywistą drugiej oraz od części urojonej pierwszej odjąć część urojoną drugiej.
Jeśli \(z _{1} =a _{1} +b _{1} i\) oraz \(z _{2} =a _{2} +b _{2} i\) to \(z _{1} - z _{2} = (a _{1} -a _{2}) +(b _{1} - b _{2}) i\).
Przykład:
Niech \(z _{1} =3i\) oraz \(z _{2} =1+2i\). Różnica \(z _{1} - z_{2} \) jest równa \((0-1) + (3-2)i=-1+i\), z kolei różnica \(z _{2} - z_{1} \) wynosi \((1-0) + (2-3)i=1-i\).
Mnożenie liczb zespolonych
Mnożenie liczb zespolonych przypomina mnożenie przez siebie dwóch nawiasów.
Niech \(z _{1} =a _{1} +b _{1} i\) oraz \(z _{2} =a _{2} +b _{2} i\). Wówczas \(z _{1} \cdot z _{2} = (a _{1} +b _{1}i) \cdot (a _{2} + b _{2}i) = a _{1} a _{2} +a_{1}b _{2}i +a_{2} b _{1} i+b_{1}ib_{2}i\)
Jeśli teraz uwzględnimy to, że \(i \cdot i=i ^{2} =-1\) otrzymamy
\(z _{1} \cdot z _{2} = a _{1} a _{2} +a_{1}b _{2}i +a_{2} b _{1} i - b_{1}b_{2} = (a _{1} a _{2} - b_{1}b_{2})+(a_{1}b _{2} +a_{2} b _{1}) i \).
Wzór ten pokazuje na czym polega mnożenie liczb zespolonych, w praktyce jednak rzadko kiedy podstawia się do niego wartości, najczęściej po prostu wymnażamy przez siebie odpowiednie nawiasy.
Przykład:
Niech \(z _{1} =4-i\) oraz \(z _{2} =-2+2i\). Wtedy
\((4-i)(-2+2i) = -8+2i+8i-2i ^{2} =-8+10i+2=-6+10i\).
Dzielenie liczb zespolonych
Aby podzielić dwie liczby zespolone zapisujemy je w postaci ułamka a następnie wykonujemy czynność przypominającą usuwnaie niewymierności z mianownika - licznik i mianownik ułamka rozszerzamy przez sprzężenie mianownika, tj. liczbę zespoloną o takiej samej części rzeczywistej ale przeciwnej części urojonej.
Niech \(z _{1} =a _{1} +b _{1} i\) oraz \(z _{2} =a _{2} +b _{2} i\). Wówczas wynik dzielenia pierwszej z tych liczb przez drugą znajdziemy wykonując następujące rozszerzenie ułamka:
\( \frac{z _{1} }{z _{2} } = \frac{a_{1}+b_{1}i}{a_{2}+b_{2}i} \cdot \frac{a_{2}-b_{2}i}{a_{2}-b_{2}i} \).
Przykład:
Niech \(z _{1} =2-2i\) oraz \(z _{2} =1+3i\).
\( \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2-2i}{1+3i} \cdot \frac{1-3i}{1-3i} = \frac{2-6i-2i+6i ^{2} }{1-3i+3i-9i ^{2} } = \frac{2-8i-6 }{1+9 } =\frac{-4-8i }{10 } = \frac{-4 }{10 }-\frac{8 }{10 } i=-0,4-0,8i\).