Potęgowanie liczb zespolonych wykonujemy posługując się wzorem de Moivre'a.
Wzór de Moivre'a
Wzór ten mówi nam, że jeśli mamy liczbę \(z\) w postaci trygonometrycznej \(z=|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha )\) to jej \(n\)-ta potęga wynosić będzie \(z ^{n} =|z| ^{n} (\cos n \alpha + i \sin n \alpha )\).
A zatem podnoszenie liczby trygonometrycznej do potęgi polega na podniesieniu do potęgi jej modułu oraz zwielokrotnieniu argumentu funkcji trygonometrycznych.
Przykład:
Sprawdźmy jaka będzie setna potęga liczby \(i\).
Moduł tej liczby wynosi \(1\), zatem jej postać trygonometryczna to \(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2}\).
\(i^{100} = 1^{100}(\cos 100 \cdot \frac{\pi}{2} +i\sin100 \cdot \frac{\pi}{2}) \)
\(= 1(\cos 50 \pi +i\sin 50\pi)=\cos 50 \pi +i\sin 50\pi=1+0i=1\).
Uwaga:
Potęgowanie można wykonać też w postaci algebraicznej. Wówczas zmuszeni jesteśmy mnożyć liczbę przez siebie określoną ilość razy.
Przykład:
Setną potęgę \(i\) obliczymy tym sposobem dość łatwo, pamiętając, że \(i ^{2} =-1\).
\(i ^{100} \) = \((i ^{2}) ^{50} =(-1) ^{50} =1\).
Ale już w przypadku liczby \(2+2i\) takie potęgowanie byłoby zdecydowanie trudniejsze:
\((2+2i) \cdot (2+2i) \cdot (2+2i) \cdot ...\) - liczba \(2+2i\) pojawia się tutaj sto razy.
Podniesienie tej liczby do potęgi setnej wykorzystując jej postać trygonometryczną jest zdecydowanie prostsze i zajmuje chwilę:
\((2 \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{ \pi }{4} )) ^{100} =(2 \sqrt{2})^{100}(\cos (100 \cdot \frac{\pi}{4}) +i\sin(100 \cdot \frac{ \pi }{4}) ) = \)\( =(\sqrt{8}^{2})^{50}(\cos 25 \pi +i\sin 25 \pi ) =8^{50}(-1 +i \cdot 0 )=-8^{50}\).
Uwaga:
Podstawiając w miejsce \(n\) potęgi będące ułamkami (np. \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{3} \), itd.) otrzymujemy metodę pierwiastkowania liczb zespolonych. Musimy jednak wziąć pod uwagę okresowość funkcji trygonometrycznych, stąd pierwiastków danego stopnia z danej liczby będzie tyle, ile wynosi stopień pierwiastka.
\( \sqrt[n]{z}= z ^{ \frac{1}{ n}} =|z| ^{ \frac{1}{ n}} (\cos \frac{ \alpha +2k\pi}{n} + i \sin \frac{ \alpha +2k\pi}{n} )\), gdzie \(k \in \{ 0,...,n-1 \}\).
Przykład:
Obliczymy wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby \(i\).
\(i=\cos \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2}\)
Pierwiastek ma zatem postać
\( \sqrt[4]{i}= |1| ^{ \frac{1}{ 4}} (\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} )\)\(=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} \),
\(n=4\), stąd \(k \in \{ 0, 1,2,3 \}\). Teraz podstawiając te wartości \(k\) do powyższego wzoru otrzymamy następujące pierwiastki:
\(z_0=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} }{4} =\cos \frac{ \pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} \),
\(z_1=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{5\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{5\pi}{2} }{4} \)\(=\cos \frac{ 5\pi}{8} + i \sin \frac{5\pi}{8}\),
\(z_2=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +4\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +4\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{9\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{9\pi}{2} }{4} \)\(=\cos \frac{ 9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8}\),
\(z_3=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +6\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +6\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{13\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{13\pi}{2} }{4} \)\(=\cos \frac{ 13\pi}{8} + i \sin \frac{13\pi}{8}\).