1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Potęgowanie liczb zespolonych i wzór de Moivre'a

Potęgowanie liczb zespolonych i wzór de Moivre'a

Potęgowanie liczb zespolonych wykonujemy posługując się wzorem de Moivre'a.

Wzór de Moivre'a

Wzór ten mówi nam, że jeśli mamy liczbę z w postaci trygonometrycznej z=|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha ) to jej n-ta potęga wynosić będzie z ^{n} =|z| ^{n} (\cos n \alpha + i \sin n \alpha ).

A zatem podnoszenie liczby trygonometrycznej do potęgi polega na podniesieniu do potęgi jej modułu oraz zwielokrotnieniu argumentu funkcji trygonometrycznych.

 

Przykład:

Sprawdźmy jaka będzie setna potęga liczby i.

Moduł tej liczby wynosi 1, zatem jej postać trygonometryczna to \cos \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2}.

i^{100} = 1^{100}(\cos 100 \cdot \frac{\pi}{2} +i\sin100 \cdot \frac{\pi}{2})

= 1(\cos 50 \pi +i\sin 50\pi)=\cos 50 \pi +i\sin 50\pi=1+0i=1.

 

Uwaga:

Potęgowanie można wykonać też w postaci algebraicznej. Wówczas zmuszeni jesteśmy mnożyć liczbę przez siebie określoną ilość razy.

 

Przykład:

Setną potęgę i obliczymy tym sposobem dość łatwo, pamiętając, że i ^{2} =-1.

i ^{100} = (i ^{2}) ^{50} =(-1) ^{50} =1.

Ale już w przypadku liczby 2+2i takie potęgowanie byłoby zdecydowanie trudniejsze:

(2+2i) \cdot (2+2i) \cdot (2+2i) \cdot ... - liczba 2+2i pojawia się tutaj sto razy.

Podniesienie tej liczby do potęgi setnej wykorzystując jej postać trygonometryczną jest zdecydowanie prostsze i zajmuje chwilę:

(2 \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{ \pi }{4} )) ^{100} =(2 \sqrt{2})^{100}(\cos (100 \cdot \frac{\pi}{4}) +i\sin(100 \cdot \frac{ \pi }{4}) ) = =(\sqrt{8}^{2})^{50}(\cos 25 \pi +i\sin 25 \pi ) =8^{50}(-1 +i \cdot 0 )=-8^{50}.

 

Uwaga:

Podstawiając w miejsce n potęgi będące ułamkami (np. \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , itd.) otrzymujemy metodę pierwiastkowania liczb zespolonych. Musimy jednak wziąć pod uwagę okresowość funkcji trygonometrycznych, stąd pierwiastków danego stopnia z danej liczby będzie tyle, ile wynosi stopień pierwiastka.

\sqrt[n]{z}= z ^{ \frac{1}{ n}} =|z| ^{ \frac{1}{ n}} (\cos \frac{ \alpha +2k\pi}{n} + i \sin \frac{ \alpha +2k\pi}{n} ), gdzie k \in \{ 0,...,n-1 \}.

 

Przykład:

Obliczymy wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby i.

i=\cos \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2}

Pierwiastek ma zatem postać

\sqrt[4]{i}= |1| ^{ \frac{1}{ 4}} (\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} )=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} ,

n=4, stąd k \in \{ 0, 1,2,3 \}. Teraz podstawiając te wartości k do powyższego wzoru otrzymamy następujące pierwiastki:

z_0=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} }{4} =\cos \frac{ \pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} ,

z_1=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{5\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{5\pi}{2} }{4} =\cos \frac{ 5\pi}{8} + i \sin \frac{5\pi}{8},

z_2=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +4\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +4\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{9\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{9\pi}{2} }{4} =\cos \frac{ 9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8},

z_3=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +6\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +6\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{13\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{13\pi}{2} }{4} =\cos \frac{ 13\pi}{8} + i \sin \frac{13\pi}{8}.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 3 =
Ostatnio komentowane
Momo - bohaterowie
Yyytf
• 2024-10-04 09:18:36
Przywilej czerwiński (1422)
Masz
• 2024-09-27 07:49:55
Rozbicie dzielnicowe w Polsce (1138-1320)
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34