Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Potęgowanie liczb zespolonych i wzór de Moivre'a

Ostatnio komentowane
NUDNE
AMELKA • 2019-10-15 18:33:39
super dzięki
pokemon • 2019-10-15 16:19:28
nie fajne nie polecam
magda gesler • 2019-10-15 12:05:48
JD
JD • 2019-10-15 22:04:41
Prawa Starych – definicja Pojęcie praw człowieka było obecne w świadomości społec...
Twój Stary • 2019-10-15 09:29:11
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Potęgowanie liczb zespolonych wykonujemy posługując się wzorem de Moivre'a.

Wzór de Moivre'a

Wzór ten mówi nam, że jeśli mamy liczbę z w postaci trygonometrycznej z=|z|(\cos  \alpha  + i \sin  \alpha ) to jej n-ta potęga wynosić będzie z ^{n} =|z| ^{n} (\cos n \alpha  + i \sin n \alpha ).

A zatem podnoszenie liczby trygonometrycznej do potęgi polega na podniesieniu do potęgi jej modułu oraz zwielokrotnieniu argumentu funkcji trygonometrycznych.

 

Przykład:

Sprawdźmy jaka będzie setna potęga liczby i.

Moduł tej liczby wynosi 1, zatem jej postać trygonometryczna to \cos  \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2}.

i^{100} = 1^{100}(\cos  100 \cdot \frac{\pi}{2} +i\sin100 \cdot \frac{\pi}{2})

=  1(\cos  50 \pi +i\sin 50\pi)=\cos  50 \pi +i\sin 50\pi=1+0i=1.

 

Uwaga:

Potęgowanie można wykonać też w postaci algebraicznej. Wówczas zmuszeni jesteśmy mnożyć liczbę przez siebie określoną ilość razy.

 

Przykład:

Setną potęgę i obliczymy tym sposobem dość łatwo, pamiętając, że i ^{2} =-1.

i ^{100} = (i ^{2})  ^{50} =(-1)  ^{50} =1.

Ale już w przypadku liczby 2+2i takie potęgowanie byłoby zdecydowanie trudniejsze:

(2+2i) \cdot (2+2i) \cdot (2+2i) \cdot ... - liczba 2+2i pojawia się tutaj sto razy.

Podniesienie tej liczby do potęgi setnej wykorzystując jej postać trygonometryczną jest zdecydowanie prostsze i zajmuje chwilę:

(2 \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{ \pi }{4} )) ^{100}
 =(2 \sqrt{2})^{100}(\cos (100 \cdot \frac{\pi}{4}) +i\sin(100 \cdot  \frac{ \pi }{4}) ) =
 =(\sqrt{8}^{2})^{50}(\cos 25 \pi +i\sin 25 \pi  )
 =8^{50}(-1 +i \cdot 0  )=-8^{50}.

 

Uwaga:

Podstawiając w miejsce n potęgi będące ułamkami (np.  \frac{1}{2} ,  \frac{1}{3} , itd.) otrzymujemy metodę pierwiastkowania liczb zespolonych. Musimy jednak wziąć pod uwagę okresowość funkcji trygonometrycznych, stąd pierwiastków danego stopnia z danej liczby będzie tyle, ile wynosi stopień pierwiastka.

 \sqrt[n]{z}= z ^{ \frac{1}{ n}} =|z| ^{ \frac{1}{ n}} (\cos  \frac{  \alpha +2k\pi}{n}  + i \sin \frac{  \alpha +2k\pi}{n} ), gdzie k \in \{ 0,...,n-1 \}.

 

Przykład:

Obliczymy wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby i.

i=\cos  \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2}

Pierwiastek ma zatem postać

 \sqrt[4]{i}= |1| ^{ \frac{1}{ 4}} (\cos  \frac{   \frac{\pi}{2}  +2k\pi}{4}  + i \sin \frac{  \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} )=\cos  \frac{   \frac{\pi}{2}  +2k\pi}{4}  + i \sin \frac{  \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} ,

n=4, stąd k \in \{ 0, 1,2,3 \}. Teraz podstawiając te wartości k do powyższego wzoru otrzymamy następujące pierwiastki:

z_0=\cos  \frac{   \frac{\pi}{2} }{4}  + i \sin \frac{  \frac{\pi}{2} }{4} 
=\cos  \frac{   \pi}{8} + i \sin   \frac{\pi}{8} ,

z_1=\cos  \frac{   \frac{\pi}{2} +2\pi}{4}  + i \sin \frac{  \frac{\pi}{2}  +2\pi}{4} 
=\cos  \frac{   \frac{5\pi}{2} }{4}  + i \sin \frac{  \frac{5\pi}{2} }{4} 

=\cos  \frac{  5\pi}{8}  + i \sin \frac{5\pi}{8},

z_2=\cos  \frac{   \frac{\pi}{2} +4\pi}{4}  + i \sin \frac{  \frac{\pi}{2}  +4\pi}{4} 
=\cos  \frac{   \frac{9\pi}{2} }{4}  + i \sin \frac{  \frac{9\pi}{2} }{4} 

=\cos  \frac{  9\pi}{8}  + i \sin \frac{9\pi}{8},

z_3=\cos  \frac{   \frac{\pi}{2} +6\pi}{4}  + i \sin \frac{  \frac{\pi}{2}  +6\pi}{4} 
=\cos  \frac{   \frac{13\pi}{2} }{4}  + i \sin \frac{  \frac{13\pi}{2} }{4} 

=\cos  \frac{  13\pi}{8}  + i \sin \frac{13\pi}{8}.

Polecamy również:

Komentarze (0)
2 + 5 =