Potęgowanie liczb zespolonych i wzór de Moivre'a

Potęgowanie liczb zespolonych wykonujemy posługując się wzorem de Moivre'a.

Wzór de Moivre'a

Wzór ten mówi nam, że jeśli mamy liczbę $z$ w postaci trygonometrycznej $z=|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha )$ to jej $n$-ta potęga wynosić będzie $z ^{n} =|z| ^{n} (\cos n \alpha + i \sin n \alpha )$.

A zatem podnoszenie liczby trygonometrycznej do potęgi polega na podniesieniu do potęgi jej modułu oraz zwielokrotnieniu argumentu funkcji trygonometrycznych.

 

Przykład:

Sprawdźmy jaka będzie setna potęga liczby $i$.

Moduł tej liczby wynosi $1$, zatem jej postać trygonometryczna to $\cos \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2}$.

$i^{100} = 1^{100}(\cos 100 \cdot \frac{\pi}{2} +i\sin100 \cdot \frac{\pi}{2})$

$= 1(\cos 50 \pi +i\sin 50\pi)=\cos 50 \pi +i\sin 50\pi=1+0i=1$.

 

Uwaga:

Potęgowanie można wykonać też w postaci algebraicznej. Wówczas zmuszeni jesteśmy mnożyć liczbę przez siebie określoną ilość razy.

 

Przykład:

Setną potęgę $i$ obliczymy tym sposobem dość łatwo, pamiętając, że $i ^{2} =-1$.

$i ^{100}$ = $(i ^{2}) ^{50} =(-1) ^{50} =1$.

Ale już w przypadku liczby $2+2i$ takie potęgowanie byłoby zdecydowanie trudniejsze:

$(2+2i) \cdot (2+2i) \cdot (2+2i) \cdot ...$ - liczba $2+2i$ pojawia się tutaj sto razy.

Podniesienie tej liczby do potęgi setnej wykorzystując jej postać trygonometryczną jest zdecydowanie prostsze i zajmuje chwilę:

$(2 \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{ \pi }{4} )) ^{100} =(2 \sqrt{2})^{100}(\cos (100 \cdot \frac{\pi}{4}) +i\sin(100 \cdot \frac{ \pi }{4}) ) =$$=(\sqrt{8}^{2})^{50}(\cos 25 \pi +i\sin 25 \pi ) =8^{50}(-1 +i \cdot 0 )=-8^{50}$.

 

Uwaga:

Podstawiając w miejsce $n$ potęgi będące ułamkami (np. $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, itd.) otrzymujemy metodę pierwiastkowania liczb zespolonych. Musimy jednak wziąć pod uwagę okresowość funkcji trygonometrycznych, stąd pierwiastków danego stopnia z danej liczby będzie tyle, ile wynosi stopień pierwiastka.

$\sqrt[n]{z}= z ^{ \frac{1}{ n}} =|z| ^{ \frac{1}{ n}} (\cos \frac{ \alpha +2k\pi}{n} + i \sin \frac{ \alpha +2k\pi}{n} )$, gdzie $k \in \{ 0,...,n-1 \}$.

 

Przykład:

Obliczymy wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby $i$.

$i=\cos \frac{\pi}{2} +i\sin\frac{\pi}{2}$

Pierwiastek ma zatem postać

$\sqrt[4]{i}= |1| ^{ \frac{1}{ 4}} (\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} )$$=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2k\pi}{4}$,

$n=4$, stąd $k \in \{ 0, 1,2,3 \}$. Teraz podstawiając te wartości $k$ do powyższego wzoru otrzymamy następujące pierwiastki:

$z_0=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} }{4} =\cos \frac{ \pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$,

$z_1=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +2\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +2\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{5\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{5\pi}{2} }{4}$$=\cos \frac{ 5\pi}{8} + i \sin \frac{5\pi}{8}$,

$z_2=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +4\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +4\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{9\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{9\pi}{2} }{4}$$=\cos \frac{ 9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8}$,

$z_3=\cos \frac{ \frac{\pi}{2} +6\pi}{4} + i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} +6\pi}{4} =\cos \frac{ \frac{13\pi}{2} }{4} + i \sin \frac{ \frac{13\pi}{2} }{4}$$=\cos \frac{ 13\pi}{8} + i \sin \frac{13\pi}{8}$.