W przypadku liczb rzeczywistych mówimy o wartości bezwzględnej liczby i wyobrażamy ją sobie jako odległość danej liczby od zera na osi liczbowej. W przypadku liczb zespolonych mówimy o module liczby i myślimy o nim jako o odległości punktu płaszczyzny zespolonej (reprezentującego daną liczbę) od punktu (0,0).
Definicja:
Dla liczb zespolonych w postaci algebraicznej modułem nazywać będziemy liczbę
, której wartość liczymy następująco:
.
Interpretacja powyżej przyjętej definicji jest geometryczna. Wzór z pierwiastkiem jest wynikiem zastosowania twierdzenia Pitagorasa przy obliczaniu odległości punktu płaszczyzny od początku układu współrzędnych.
Przykład:
Znajdźmy moduł liczby -3 + 2i.
Zaznaczmy tą liczbę na płaszczyźnie zespolonej.
Zwróćmy uwagę, że jej odległość od osi Re wynosi 2, natomiast odległość od osi Im 3. Na dwa sposoby możemy narysować trójkąt prostokątny, którego jednym z wierzchołków jest punkt (-3,2) odpowiadający badanej liczbie, drugim wierzchołkiem punkt (0,0) a jedna z przyprostokątnych pokrywa się z osią układu. Z twierdzenia Pitagorasa liczylibyśmy wówczas odległość punktu (-3,2) od początku układu współrzędnych jako długość przeciwprostokątnej trójkąta o przyprostokątnych długości 2 i 3.
Posłużymy się jednak gotowym wzorem, podanym w definicji.
, zatem
,
,
.
Uwaga:
Moduł liczby zespolonej dla liczb zespolonych będących liczbami rzeczywistymi (tj. o zerowej części urojonej) jest dokładnie tym samym co wartość bezwzględna danej liczby. Z tego powodu do oznaczenia modułu używa się tego samego symbolu co do oznaczenia wartości bezwzględnej.
Przykład:
Jeśli , to
oraz
, zatem
Moduł .
Podobnie wartość bezwzględna .