Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej umożliwia bardzo łatwe wykonywanie mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Wykonywanie tych działań na liczbach w postaci algebraicznej wymagało pewnego wysiłku, natomiast dysponując postacią trygonometryczną możemy to zrobić w prostszy sposób.

Niech dane będą dwie liczby w postaci trygonometrycznej:

$z_1=|z_1 |(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ oraz $z_2=|z_2 |(\cos \beta +i\sin \beta )$ .

Wówczas:

$z_1 \cdot z_2=|z_1 | \cdot |z_2 |(\cos (\alpha + \beta ) +i\sin ( \alpha + \beta ))$ ,

$\frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{|z_1 |}{ |z_2 |} (\cos (\alpha - \beta ) +i\sin ( \alpha - \beta ))$ (o ile $z_2 \neq 0$ ).

Przykład:

Niech dane będą liczby $z_1 = 1 + \sqrt{3} i$ oraz $z_2 = \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i$ .

Ich reprezentacje trygonometryczne to $z_1= 2 (\cos 60^{ \circ } +i\sin 60^{ \circ } )$ oraz $z_2= \frac{1}{2} (\cos 30^{ \circ } +i\sin 30^{ \circ } )$ .

Policzmy ich iloczyn.

$z_1 \cdot z_2=2 \cdot \frac{1 }{2} (\cos (60^ \circ + 30^ \circ ) +i\sin (60^ \circ + 30^ \circ )) =\cos (90^ \circ ) +i\sin (90^ \circ)=0+i \cdot 1=i$ .

Policzymy teraz ich iloraz.

$\frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{ 2 }{ \frac{1 }{2} }(\cos (60^ \circ - 30^ \circ ) +i\sin (60^ \circ - 30^ \circ )) =4(\cos (30^ \circ ) +i\sin (30^ \circ))$

$=4( \frac{ \sqrt{3} }{2} +i \frac{1}{2} )=2 \sqrt{3} +2i$ .

Policzenie iloczynu bez wykorzystania postaci trygonometrycznej wymagałoby wykonania mnożenia $(1 + \sqrt{3} i)( \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i)$ , z kolei w przypadku ilorazu byłoby to jeszcze trudniejsze - wyrażenie $\frac{(1 + \sqrt{3} i)}{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i)}$ musielibyśmy pomnożyć przez $\frac{( \frac{ \sqrt{3} }{4} - \frac{1}{4} i)}{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4} - \frac{1}{4} i)}$ .

Postać trygonometryczna zdecydowanie ułatwia wykonywanie obliczeń tego typu.

Polecamy również:

Wykorzystanie liczb zespolonych w dowodach wzorów trygonometrycznych

Jednym z ciekawszych zastosowań postaci trygonometrycznej liczb zespolonych jest jej wykorzystanie w dowodach wzorów z trygonometrii... Więcej »

Komentarze (0)

Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Wykorzystanie liczb zespolonych w dowodach wzorów trygonometrycznych

Losowe zadania

Schemat budowy wewnętrznej liścia

Skały

Rośliny mięsożerne

Procesy chemicznego wietrzenia skał

Mnożenie liczb całkowitych