Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej umożliwia bardzo łatwe wykonywanie mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Wykonywanie tych działań na liczbach w postaci algebraicznej wymagało pewnego wysiłku, natomiast dysponując postacią trygonometryczną możemy to zrobić w prostszy sposób.

 

Niech dane będą dwie liczby w postaci trygonometrycznej:

z_1=|z_1 |(\cos \alpha +i\sin   \alpha  ) oraz z_2=|z_2 |(\cos  \beta +i\sin    \beta   ).

Wówczas:

z_1  \cdot z_2=|z_1 | \cdot |z_2 |(\cos (\alpha + \beta ) +i\sin  ( \alpha +  \beta  )),

 \frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{|z_1 |}{ |z_2 |} (\cos (\alpha - \beta ) +i\sin  ( \alpha -  \beta  )) (o ile z_2 \neq 0).

 

Przykład:

Niech dane będą liczby z_1 = 1 +  \sqrt{3} i oraz z_2 =  \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i.

Ich reprezentacje trygonometryczne to z_1= 2 (\cos  60^{ \circ }  +i\sin   60^{ \circ }  ) oraz z_2=  \frac{1}{2}  (\cos  30^{ \circ }  +i\sin   30^{ \circ }  ).

Policzmy ich iloczyn.

z_1  \cdot z_2=2 \cdot  \frac{1  }{2} (\cos (60^ \circ  + 30^ \circ ) +i\sin  (60^ \circ  +  30^ \circ )) =\cos (90^ \circ ) +i\sin  (90^ \circ)=0+i \cdot 1=i.

Policzymy teraz ich iloraz.

 \frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{ 2 }{  \frac{1  }{2} }(\cos (60^ \circ  - 30^ \circ ) +i\sin  (60^ \circ  -  30^ \circ )) =4(\cos (30^ \circ ) +i\sin  (30^ \circ))

=4(  \frac{ \sqrt{3} }{2}   +i \frac{1}{2} )=2 \sqrt{3} +2i.

Policzenie iloczynu bez wykorzystania postaci trygonometrycznej wymagałoby wykonania mnożenia (1 +  \sqrt{3} i)( \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i), z kolei w przypadku ilorazu byłoby to jeszcze trudniejsze - wyrażenie  \frac{(1 +  \sqrt{3} i)}{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i)} musielibyśmy pomnożyć przez  \frac{( \frac{ \sqrt{3} }{4} - \frac{1}{4} i)}{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4} - \frac{1}{4} i)}.

Postać trygonometryczna zdecydowanie ułatwia wykonywanie obliczeń tego typu.

Zobacz również

Losowe zadania

  • Dziedziny biologii

    Wytłumacz krótko czym zajmują się poszczególne dziedziny biologii:1. Mikrobiologia - 2. Botanika - 3. Zoologia -4. Fizjologia -5. Anatomia -6. Ekologia -  

    1 Odpowiedz Więcej
  • Nazwij części zdania

    Nazwij części zdania w podanych przykładach.   Mała dziewczynka pojechała do babci. Wczoraj kupiłem w sklepie pierogi. Za chwilę pokażę wam coś niesamowitego. Mimo zmęczenia, pouczę się. Najlepsza śpiewaczka zaśpiewa dziś w operze wspaniałą arię.

    2 Odpowiedz Więcej
  • Rola osocza krwi

    Osocze jest główny składnikiem krwi. Poza wodą zawiera wiele ważnych dla funkcjonowania organizmu związków. Wymień trzy funkcje, jakie pełni osocze krwi w organizmie.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Oblicz stężenie fruktopiranozy znając ilość cząsteczek w roztworze

    W roztworze wodnym fruktozy, na 1 mol cząsteczek cukru przypada 9,03×1024 cząsteczek wody. Oblicz stężenie procentowe tego roztworu w % wagowo-wagowych podając wynik z dokładnością do liczby całkowitej. Przyjmij w obliczeniach następujące wartości mas atomowych: MO = 16u, MH = 1u, MC = 12u. Poniżej przedstawiono wzór struk...

    0 Odpowiedz Więcej
  • III Prawo Keplera

    Wiedząc, że średnia odległość Marsa od Słońca wynosi 1,5 au, a masa Słońca wynosi 2,1*1030 kg, oblicz ile potrzeba czasu na pełne okrążenie Marsa wokół Słońca, dla ułatwienia obliczeń można przyjąć, że Mars porusza się po orbicie kołowej.

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 5 =
Ostatnio komentowane
smieszny
helena • 2020-07-09 09:40:55
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28