Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej

Ostatnio komentowane
wew
wewe • 2019-10-17 19:56:19
No elo
Elo • 2019-10-16 18:14:00
nie fajne
wertyuiop[] • 2019-10-16 16:41:14
Podobno pan Erwin oprócz żony miał wiele związków nieformalnych z innymi kobietami. R...
Marcin • 2019-10-16 12:12:31
Podobno Alessandro Volta był bardzo pobożny. Codziennie uczęszczał na Mszę Świętą...
Marcin • 2019-10-16 12:06:53
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Postać trygonometryczna liczby zespolonej umożliwia bardzo łatwe wykonywanie mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Wykonywanie tych działań na liczbach w postaci algebraicznej wymagało pewnego wysiłku, natomiast dysponując postacią trygonometryczną możemy to zrobić w prostszy sposób.

 

Niech dane będą dwie liczby w postaci trygonometrycznej:

z_1=|z_1 |(\cos \alpha +i\sin   \alpha  ) oraz z_2=|z_2 |(\cos  \beta +i\sin    \beta   ).

Wówczas:

z_1  \cdot z_2=|z_1 | \cdot |z_2 |(\cos (\alpha + \beta ) +i\sin  ( \alpha +  \beta  )),

 \frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{|z_1 |}{ |z_2 |} (\cos (\alpha - \beta ) +i\sin  ( \alpha -  \beta  )) (o ile z_2 \neq 0).

 

Przykład:

Niech dane będą liczby z_1 = 1 +  \sqrt{3} i oraz z_2 =  \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i.

Ich reprezentacje trygonometryczne to z_1= 2 (\cos  60^{ \circ }  +i\sin   60^{ \circ }  ) oraz z_2=  \frac{1}{2}  (\cos  30^{ \circ }  +i\sin   30^{ \circ }  ).

Policzmy ich iloczyn.

z_1  \cdot z_2=2 \cdot  \frac{1  }{2} (\cos (60^ \circ  + 30^ \circ ) +i\sin  (60^ \circ  +  30^ \circ )) =\cos (90^ \circ ) +i\sin  (90^ \circ)=0+i \cdot 1=i.

Policzymy teraz ich iloraz.

 \frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{ 2 }{  \frac{1  }{2} }(\cos (60^ \circ  - 30^ \circ ) +i\sin  (60^ \circ  -  30^ \circ )) =4(\cos (30^ \circ ) +i\sin  (30^ \circ))

=4(  \frac{ \sqrt{3} }{2}   +i \frac{1}{2} )=2 \sqrt{3} +2i.

Policzenie iloczynu bez wykorzystania postaci trygonometrycznej wymagałoby wykonania mnożenia (1 +  \sqrt{3} i)( \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i), z kolei w przypadku ilorazu byłoby to jeszcze trudniejsze - wyrażenie  \frac{(1 +  \sqrt{3} i)}{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i)} musielibyśmy pomnożyć przez  \frac{( \frac{ \sqrt{3} }{4} - \frac{1}{4} i)}{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4} - \frac{1}{4} i)}.

Postać trygonometryczna zdecydowanie ułatwia wykonywanie obliczeń tego typu.

Polecamy również:

Komentarze (0)
2 + 4 =