Postać trygonometryczna liczby zespolonej umożliwia bardzo łatwe wykonywanie mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Wykonywanie tych działań na liczbach w postaci algebraicznej wymagało pewnego wysiłku, natomiast dysponując postacią trygonometryczną możemy to zrobić w prostszy sposób.
Niech dane będą dwie liczby w postaci trygonometrycznej:
\(z_1=|z_1 |(\cos \alpha +i\sin \alpha )\) oraz \(z_2=|z_2 |(\cos \beta +i\sin \beta )\).
Wówczas:
\(z_1 \cdot z_2=|z_1 | \cdot |z_2 |(\cos (\alpha + \beta ) +i\sin ( \alpha + \beta ))\),
\( \frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{|z_1 |}{ |z_2 |} (\cos (\alpha - \beta ) +i\sin ( \alpha - \beta ))\) (o ile \(z_2 \neq 0\)).
Przykład:
Niech dane będą liczby \(z_1 = 1 + \sqrt{3} i\) oraz \(z_2 = \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i\).
Ich reprezentacje trygonometryczne to \(z_1= 2 (\cos 60^{ \circ } +i\sin 60^{ \circ } )\) oraz \(z_2= \frac{1}{2} (\cos 30^{ \circ } +i\sin 30^{ \circ } )\).
Policzmy ich iloczyn.
\(z_1 \cdot z_2=2 \cdot \frac{1 }{2} (\cos (60^ \circ + 30^ \circ ) +i\sin (60^ \circ + 30^ \circ )) =\cos (90^ \circ ) +i\sin (90^ \circ)=0+i \cdot 1=i\).
Policzymy teraz ich iloraz.
\( \frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{ 2 }{ \frac{1 }{2} }(\cos (60^ \circ - 30^ \circ ) +i\sin (60^ \circ - 30^ \circ )) =4(\cos (30^ \circ ) +i\sin (30^ \circ))\)
\(=4( \frac{ \sqrt{3} }{2} +i \frac{1}{2} )=2 \sqrt{3} +2i\).
Policzenie iloczynu bez wykorzystania postaci trygonometrycznej wymagałoby wykonania mnożenia \((1 + \sqrt{3} i)( \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i)\), z kolei w przypadku ilorazu byłoby to jeszcze trudniejsze - wyrażenie \( \frac{(1 + \sqrt{3} i)}{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{1}{4} i)}\) musielibyśmy pomnożyć przez \( \frac{( \frac{ \sqrt{3} }{4} - \frac{1}{4} i)}{ ( \frac{ \sqrt{3} }{4} - \frac{1}{4} i)}\).
Postać trygonometryczna zdecydowanie ułatwia wykonywanie obliczeń tego typu.