Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Wykorzystanie liczb zespolonych w dowodach wzorów trygonometrycznych

Ostatnio komentowane
3
21 • 2019-12-12 19:49:22
Jest błąd w treści na samym początku drugiej informacji na temat planet wewnętrznych,...
Xxd • 2019-12-12 18:54:28
Skomentuj tekst
Adam • 2019-12-12 15:03:55
Szkoda komentować...
Vaspov • 2019-12-12 14:21:30
"print(0);"
asd • 2019-12-12 06:48:04
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Jednym z ciekawszych zastosowań postaci trygonometrycznej liczb zespolonych jest jej wykorzystanie w dowodach wzorów z trygonometrii.

Niech dane będą dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:

z_1=|z_1 |(\cos \alpha +i\sin   \alpha  ) oraz z_2=|z_2 |(\cos  \beta +i\sin    \beta   ).

Wówczas jak pamiętamy ich iloczyn to

z_1  \cdot z_2=|z_1 | \cdot |z_2 |(\cos (\alpha + \beta ) +i\sin  ( \alpha +  \beta  )).

Wyznaczmy ten iloczyn mnożąc przez siebie z _{1} i z _{2} wprost, bez wykorzystywania powyższego wzoru. Ponadto przyjmijmy, że moduły obu liczb są równe 1.

z_1  \cdot  z_2 =(\cos \alpha +i\sin   \alpha  ) \cdot (\cos  \beta  +i\sin  \beta  )=
\cos \alpha \cos  \beta + i \cos \alpha  \sin   \beta +  i\sin  \alpha \cos \beta + i ^{2} \sin  \alpha \sin \beta  =

\cos \alpha \cos  \beta + i \cos \alpha  \sin   \beta +  i\sin  \alpha \cos \beta - \sin  \alpha \sin \beta  =

(\cos \alpha \cos  \beta - \sin  \alpha \sin \beta)+ i( \cos \alpha  \sin   \beta +  \sin  \alpha \cos \beta   )

Otrzymaliśmy szukany iloczyn, w którym część rzeczywista to \cos \alpha \cos  \beta - \sin  \alpha \sin \beta oraz część urojona  \cos \alpha  \sin   \beta +  \sin  \alpha \cos \beta   . Ale wiemy z wzoru na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, że szukany iloczyn to z_1  \cdot z_2=\cos (\alpha + \beta ) +i\sin  ( \alpha +  \beta  ), w którym część rzeczywista wynosi \cos (\alpha + \beta ) natomiast część urojona \sin  ( \alpha +  \beta  ). Część rzeczywista musi być taka sama niezależnie od przyjętej metody mnożenia, podobnie dla części urojonej. W ten sposób otrzymaliśmy następujące wzory na cosinus sumy oraz sinus sumy:

\cos( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos  \beta - \sin  \alpha \sin \beta,

\sin( \alpha + \beta )= \cos \alpha  \sin   \beta +  \sin  \alpha \cos \beta   .

 

Analogicznie możemy postąpić wykorzystując wzór na dzielenie

 \frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{|z_1 |}{ |z_2 |} (\cos (\alpha - \beta ) +i\sin  ( \alpha -  \beta  )) (przy założeniu, że z_2 \neq 0).

Wówczas będziemy się musieli odrobinę bardziej nagimnastykować, ponieważ dzieląc  \frac{ z_1 }{ z_2 } klasyczną metodą staniemy przed koniecznością wykonania następującego działania:

 \frac{z_1 }{   z_2} = \frac{(\cos \alpha +i\sin   \alpha  ) }{ (\cos  \beta  +i\sin  \beta  )} 
\frac{ (\cos  \beta  -i\sin  \beta  )}{ (\cos  \beta  -i\sin  \beta  )}
.

Lepszym pomysłem jest wykorzystanie już otrzymanych wzorów, podstawienie w miejsce kąta  \beta kąt - \beta i skorzystanie z faktu, że \sin(- \phi )=-\sin( \phi ) oraz \cos(- \phi )=\cos( \phi ). Mamy wtedy:

\cos( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos  (-\beta) - \sin  \alpha \sin (-\beta)
=\cos \alpha \cos  \beta + \sin  \alpha \sin \beta

oraz

\sin( \alpha - \beta )= \cos \alpha  \sin  (- \beta )+  \sin  \alpha \cos (-\beta   )
= -\cos \alpha  \sin  \beta+  \sin  \alpha \cos \beta   .

 

A zatem korzystając z reguły mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej oraz podstawowych własności funkcji trygonometrycznych (parzystość cosinusa i nieparzystość sinusa) udowodniliśmy wzory na sinus sumy, sinus różnicy, cosinus sumy oraz cosinus różnicy:

\sin( \alpha + \beta )=  \sin  \alpha \cos \beta   +\sin   \beta\cos \alpha

\sin( \alpha - \beta )=  \sin  \alpha \cos \beta    -\sin  \beta\cos \alpha

\cos( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos  \beta - \sin  \alpha \sin \beta

\cos( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos  \beta + \sin  \alpha \sin \beta

Polecamy również:

Komentarze (0)
3 + 2 =