Jednym z ciekawszych zastosowań postaci trygonometrycznej liczb zespolonych jest jej wykorzystanie w dowodach wzorów z trygonometrii.
Niech dane będą dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:
\(z_1=|z_1 |(\cos \alpha +i\sin \alpha )\) oraz \(z_2=|z_2 |(\cos \beta +i\sin \beta )\).
Wówczas jak pamiętamy ich iloczyn to
\(z_1 \cdot z_2=|z_1 | \cdot |z_2 |(\cos (\alpha + \beta ) +i\sin ( \alpha + \beta ))\).
Wyznaczmy ten iloczyn mnożąc przez siebie \(z _{1} \) i \(z _{2} \) wprost, bez wykorzystywania powyższego wzoru. Ponadto przyjmijmy, że moduły obu liczb są równe \(1\).
\(z_1 \cdot z_2 =(\cos \alpha +i\sin \alpha ) \cdot (\cos \beta +i\sin \beta )= \)\(\cos \alpha \cos \beta + i \cos \alpha \sin \beta + i\sin \alpha \cos \beta + i ^{2} \sin \alpha \sin \beta =\)
\(\cos \alpha \cos \beta + i \cos \alpha \sin \beta + i\sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta =\)
\((\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)+ i( \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta )\)
Otrzymaliśmy szukany iloczyn, w którym część rzeczywista to \(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\) oraz część urojona \( \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta \). Ale wiemy z wzoru na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, że szukany iloczyn to \(z_1 \cdot z_2=\cos (\alpha + \beta ) +i\sin ( \alpha + \beta )\), w którym część rzeczywista wynosi \(\cos (\alpha + \beta )\) natomiast część urojona \(\sin ( \alpha + \beta )\). Część rzeczywista musi być taka sama niezależnie od przyjętej metody mnożenia, podobnie dla części urojonej. W ten sposób otrzymaliśmy następujące wzory na cosinus sumy oraz sinus sumy:
\(\cos( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\),
\(\sin( \alpha + \beta )= \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta \).
Analogicznie możemy postąpić wykorzystując wzór na dzielenie
\( \frac{ z_1 }{ z_2 }= \frac{|z_1 |}{ |z_2 |} (\cos (\alpha - \beta ) +i\sin ( \alpha - \beta ))\) (przy założeniu, że \(z_2 \neq 0\)).
Wówczas będziemy się musieli odrobinę bardziej nagimnastykować, ponieważ dzieląc \( \frac{ z_1 }{ z_2 }\) klasyczną metodą staniemy przed koniecznością wykonania następującego działania:
\( \frac{z_1 }{ z_2} = \frac{(\cos \alpha +i\sin \alpha ) }{ (\cos \beta +i\sin \beta )} \frac{ (\cos \beta -i\sin \beta )}{ (\cos \beta -i\sin \beta )} \).
Lepszym pomysłem jest wykorzystanie już otrzymanych wzorów, podstawienie w miejsce kąta \( \beta \) kąt \(- \beta \) i skorzystanie z faktu, że \(\sin(- \phi )=-\sin( \phi )\) oraz \(\cos(- \phi )=\cos( \phi )\). Mamy wtedy:
\(\cos( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos (-\beta) - \sin \alpha \sin (-\beta) =\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)
oraz
\(\sin( \alpha - \beta )= \cos \alpha \sin (- \beta )+ \sin \alpha \cos (-\beta ) = -\cos \alpha \sin \beta+ \sin \alpha \cos \beta \).
A zatem korzystając z reguły mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej oraz podstawowych własności funkcji trygonometrycznych (parzystość cosinusa i nieparzystość sinusa) udowodniliśmy wzory na sinus sumy, sinus różnicy, cosinus sumy oraz cosinus różnicy:
\(\sin( \alpha + \beta )= \sin \alpha \cos \beta +\sin \beta\cos \alpha \)
\(\sin( \alpha - \beta )= \sin \alpha \cos \beta -\sin \beta\cos \alpha \)
\(\cos( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\)
\(\cos( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)