Symbolem Newtona nazywamy liczbę \({n \choose k} = \frac {n!}{k!(n-k)!\), gdzie \(n \ge k\), \(n,k\in \mathbb{N}\).
Przykład:
\({6 \choose 2} = \frac {6!}{2!(6-2)!} = \frac {6!}{2!\cdot4!} = \frac{5\cdot6}2 = 15\)
\({8 \choose 4} = \frac {8!}{4!(8-4)!} = \frac {8!}{4!\cdot4!} = \frac{5\cdot6\cdot7\cdot 8}{1\cdot2\cdot3\cdot4} = 70\)
Zauważmy, że \({n \choose n} = 1\), bo \({n \choose n} = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac11 = 1\).
Obserwacja: zachodzi również \({n \choose k} = {n \choose n-k}\).
Przykład:
Łatwo pokazać, że \({7 \choose 2} = 21 = {7 \choose 5}\).
Zadanie:
Policzyć:
a) \({6 \choose 4}\),
b) \({5 \choose 3}\),
c) \({9 \choose 7}\).
Odpowiedzi:
a) \(15\),
b) \(10\),
c) \(36\).