Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Wariacje bez powtórzeń – definicja, wzór, zadania

Ostatnio komentowane
fajne
f0x • 2019-01-17 11:14:23
Tekst należy poprawić ze względu na to, że funkcje sądowe Izby Lordów zostały już ...
Bartek • 2019-01-16 19:11:55
chcesz w pape
SSASS • 2019-01-15 22:12:16
dzięki
ola • 2019-01-14 16:34:59
lol
lololol • 2019-01-14 15:22:12
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Def.: k-elementową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów tego zbioru (przy czym k \le n).

 

Twierdzenie: Ilość k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wynosi n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1), tzn.

V_n^k = \frac {n!}{(n-k)!}

 

Innymi słowy wariacja bez powtórzeń jest uogólnieniem permutacji na ciągi krótsze niż n (dla n = k dostajemy właśnie wzór na permutacje).

 

Przykład:

Wypiszmy wszystkie dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru \left \{A,B,C  \right \}:

(A,B)(B,A)(A,C)(C,A)(B,C)(C,B) - i rzeczywiście jest ich dokładnie \frac {3!}{(2-3)!} = 6.

 

Uwaga 1: Liczenie wariacji bez powtórzeń, podobnie jak w przypadku permutacji, opiera się na regule mnożenia. W istocie, gdybyśmy mieli utworzyć ciąg k-elementowy z elementów zbioru mocy n (tj. n-elementowego), pierwszy element moglibyśmy wybrać na n sposobów, drugi na n-1, itd., a ostatni (bo wyraliśmy już k-1 elementów) na n-(k-1) = n-k+1, dokładnie tak jak podaje reguła mnożenia.

 

Uwaga 2: Na wariacje bez powtórzeń możemy patrzeć także jak na połączenie kombinacji z permutacjami i zachodzi wówczas V_n^k = C_n^k\cdot P_k. Interpretacja tego faktu jest następująca - wybieramy najpierw k-elementowe podzbiory zbioru n-elementowego, a potem dla każdego z tych podzbiorów zliczamy jego permutacje.

 

Zadanie: 

Obliczyć:

a) V_7^3,

b) V_6^2.

 

Odpowiedzi:

a) 210,

b) 30.

Polecamy również:

Komentarze (0)
3 + 2 =