Wariacje bez powtórzeń – definicja, wzór, zadania

Def.: $k$ -elementową wariacją bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego nazywamy każdy $k$ -wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów tego zbioru (przy czym $k \le n$ ).

Twierdzenie: Ilość $k$ -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego wynosi $n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1)$ , tzn.

$V_n^k = \frac {n!}{(n-k)!}$

Innymi słowy wariacja bez powtórzeń jest uogólnieniem permutacji na ciągi krótsze niż $n$ (dla $n = k$ dostajemy właśnie wzór na permutacje).

Przykład:

Wypiszmy wszystkie dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru $\left \{A,B,C \right \}$ :

$(A,B)$ , $(B,A)$ , $(A,C)$ , $(C,A)$ , $(B,C)$ , $(C,B)$ - i rzeczywiście jest ich dokładnie $\frac {3!}{(2-3)!} = 6$ .

Uwaga 1: Liczenie wariacji bez powtórzeń, podobnie jak w przypadku permutacji, opiera się na regule mnożenia. W istocie, gdybyśmy mieli utworzyć ciąg $k$ -elementowy z elementów zbioru mocy $n$ (tj. $n$ -elementowego), pierwszy element moglibyśmy wybrać na $n$ sposobów, drugi na $n-1$ , itd., a ostatni (bo wyraliśmy już $k-1$ elementów) na $n-(k-1) = n-k+1$ , dokładnie tak jak podaje reguła mnożenia.

Uwaga 2: Na wariacje bez powtórzeń możemy patrzeć także jak na połączenie kombinacji z permutacjami i zachodzi wówczas $V_n^k = C_n^k\cdot P_k$ . Interpretacja tego faktu jest następująca - wybieramy najpierw $k$ -elementowe podzbiory zbioru $n$ -elementowego, a potem dla każdego z tych podzbiorów zliczamy jego permutacje.