Def.: -elementową wariacją bez powtórzeń zbioru
-elementowego nazywamy każdy
-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów tego zbioru (przy czym
).
Twierdzenie: Ilość -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru
-elementowego wynosi
, tzn.
Innymi słowy wariacja bez powtórzeń jest uogólnieniem permutacji na ciągi krótsze niż (dla
dostajemy właśnie wzór na permutacje).
Przykład:
Wypiszmy wszystkie dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru :
,
,
,
,
,
- i rzeczywiście jest ich dokładnie
.
Uwaga 1: Liczenie wariacji bez powtórzeń, podobnie jak w przypadku permutacji, opiera się na regule mnożenia. W istocie, gdybyśmy mieli utworzyć ciąg -elementowy z elementów zbioru mocy
(tj.
-elementowego), pierwszy element moglibyśmy wybrać na
sposobów, drugi na
, itd., a ostatni (bo wyraliśmy już
elementów) na
, dokładnie tak jak podaje reguła mnożenia.
Uwaga 2: Na wariacje bez powtórzeń możemy patrzeć także jak na połączenie kombinacji z permutacjami i zachodzi wówczas . Interpretacja tego faktu jest następująca - wybieramy najpierw
-elementowe podzbiory zbioru
-elementowego, a potem dla każdego z tych podzbiorów zliczamy jego permutacje.
Zadanie:
Obliczyć:
a) ,
b) .
Odpowiedzi:
a) ,
b) .