Wariacje bez powtórzeń – definicja, wzór, zadania

Def.: k-elementową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów tego zbioru (przy czym k \le n).

 

Twierdzenie: Ilość k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wynosi n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1), tzn.

V_n^k = \frac {n!}{(n-k)!}

 

Innymi słowy wariacja bez powtórzeń jest uogólnieniem permutacji na ciągi krótsze niż n (dla n = k dostajemy właśnie wzór na permutacje).

 

Przykład:

Wypiszmy wszystkie dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru \left \{A,B,C  \right \}:

(A,B)(B,A)(A,C)(C,A)(B,C)(C,B) - i rzeczywiście jest ich dokładnie \frac {3!}{(2-3)!} = 6.

 

Uwaga 1: Liczenie wariacji bez powtórzeń, podobnie jak w przypadku permutacji, opiera się na regule mnożenia. W istocie, gdybyśmy mieli utworzyć ciąg k-elementowy z elementów zbioru mocy n (tj. n-elementowego), pierwszy element moglibyśmy wybrać na n sposobów, drugi na n-1, itd., a ostatni (bo wyraliśmy już k-1 elementów) na n-(k-1) = n-k+1, dokładnie tak jak podaje reguła mnożenia.

 

Uwaga 2: Na wariacje bez powtórzeń możemy patrzeć także jak na połączenie kombinacji z permutacjami i zachodzi wówczas V_n^k = C_n^k\cdot P_k. Interpretacja tego faktu jest następująca - wybieramy najpierw k-elementowe podzbiory zbioru n-elementowego, a potem dla każdego z tych podzbiorów zliczamy jego permutacje.

 

Zadanie: 

Obliczyć:

a) V_7^3,

b) V_6^2.

 

Odpowiedzi:

a) 210,

b) 30.

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 4 =
Ostatnio komentowane
SUPER DZIĘKI BARDZO
PO PROSTU KULFON • 2020-11-29 18:49:53
elo
maciek z kalisza • 2020-11-29 11:56:35
ta
ja • 2020-11-29 11:21:27
dzięki
twój stary • 2020-11-28 14:23:27
super
andrzej • 2020-11-28 13:21:14