Def.: \(k\)-elementową wariacją bez powtórzeń zbioru \(n\)-elementowego nazywamy każdy \(k\)-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów tego zbioru (przy czym \(k \le n\)).
Twierdzenie: Ilość \(k\)-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru \(n\)-elementowego wynosi \(n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1)\), tzn.
\(V_n^k = \frac {n!}{(n-k)!}\)
Innymi słowy wariacja bez powtórzeń jest uogólnieniem permutacji na ciągi krótsze niż \(n\) (dla \(n = k\) dostajemy właśnie wzór na permutacje).
Przykład:
Wypiszmy wszystkie dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru \(\left \{A,B,C \right \}\):
\((A,B)\), \((B,A)\), \((A,C)\), \((C,A)\), \((B,C)\), \((C,B)\) - i rzeczywiście jest ich dokładnie \(\frac {3!}{(2-3)!} = 6\).
Uwaga 1: Liczenie wariacji bez powtórzeń, podobnie jak w przypadku permutacji, opiera się na regule mnożenia. W istocie, gdybyśmy mieli utworzyć ciąg \(k\)-elementowy z elementów zbioru mocy \(n\) (tj. \(n\)-elementowego), pierwszy element moglibyśmy wybrać na \(n\) sposobów, drugi na \(n-1\), itd., a ostatni (bo wyraliśmy już \(k-1\) elementów) na \(n-(k-1) = n-k+1\), dokładnie tak jak podaje reguła mnożenia.
Uwaga 2: Na wariacje bez powtórzeń możemy patrzeć także jak na połączenie kombinacji z permutacjami i zachodzi wówczas \(V_n^k = C_n^k\cdot P_k\). Interpretacja tego faktu jest następująca - wybieramy najpierw \(k\)-elementowe podzbiory zbioru \(n\)-elementowego, a potem dla każdego z tych podzbiorów zliczamy jego permutacje.
Zadanie:
Obliczyć:
a) \(V_7^3\),
b) \(V_6^2\).
Odpowiedzi:
a) \(210\),
b) \(30\).