Reguła mnożenia – kombinatoryka, definicja, zadania

Na ile sposobów można ustawić $8$ osób w kolejce?

Aby odpowiedzieć na to pytanie wygodnie jest posłużyć się następującym sposobem myślenia:

Wyobraźmy sobie kasę i stojących w kolejce osiem anonimowych osób. Nasze osoby są oczywiście konkretnymi osobami o danym imieniu i nazwisku, więc teraz będziemy owych anonimowych ludzi identyfikować.

Ustawiamy osoby ze zbioru ośmiu konkretnych osób, zatem pierwszą może być każda z nich - możemy ją więc wybrać na osiem różnych sposobów. Drugą osobą może być każda oprócz pierwszej, już wybranej. I tak dalej. Kontynuując to rozumowanie bardzo szybko dochodzimy do wniosku, że wszystkie osoby daje sę ustawić w kolejce na $8 \cdot 7\cdot ... \cdot 1$ sposobów, a więc na $8!$ .

Przykład:

Na ile sposobów można liczby ze zbioru $\left \{ 1,2,3,4 \right \}$ ustawić tak, by żadna z nich się nie powtarzała a ostatnia była liczbą parzystą?

Skorzystamy znów z podobnego rozumowania, tym razem zaczniemy jednak od końca. Ostatnia liczba musi być parzysta, więc możemy ją wybrać na dwa sposoby (może to być $2$ lub $4$ ). Zatem do wyboru na trzy pierwsze miejsca zostały nam trzy pozostałe liczby. Pierwszą z nich możemy wybrać na trzy sposoby, drugą na dwa, trzecią - jeden. Ostatecznie więc $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot1 = 12$ .

Istnieje więc $12$ sposobów ustawienia liczb ze zbioru $\left \{ 1,2,3,4 \right \}$ w zadanym porządku.

Gdyby nie było narzuconego ograniczenia o niepowtarzaniu się liczb mielibyśmy $2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 128$ możliwości.

Innymi słowy zatem istnieje $12$ liczb parzystych o różnych cyfrach ze zbioru $\left \{ 1,2,3,4 \right \}$ oraz $128$ liczb parzystych tworzonych z cyfr tego zbioru w sytuacji, gdy mogą się one powtarzać.

Ogólnie zaś możemy powiedzieć, że:

Jeżeli pewien wybór polega na podjęciu $n$ decyzji przy czym pierwszą można podjąć na $k_1$ sposobów, drugą na $k_2$ sposobów, ..., $n$ -tą na $k_n$ sposobów, to wszystkich możliwych wyborów jest $k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_n$ .