Trójkąt Pascala – definicja, algorytm, zadania, zastosowanie

Trójkątem Pascala nazywamy następującą konstrukcję:

 

Po brzegach znajdują się jedynki, wewnątrz natomiast liczb powstałe poprzez zsumowanie dwóch liczb górujących nad daną.

Trójkąt Pascala jest obiektem kombinatorycznym mającym bardzo ciekawe właściwości.

W szczególności każdy wiersz w trójkącie Pascala zawiera kolejne współczynniki występujące we wzorach skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, itd.

(a \pm b)^0 = 1

(a\pm b)^1 = a \pm b = 1 a \pm 1b 

(a \pm b)^2 = a^2\pm2ab \pm b^2 = 1a^2\pm2ab \pm1 b^2

(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3=1a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm 1b^3

(a\pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6 a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4=
1 a^4 \pm 4a^3b + 6 a^2b^2 \pm 4ab^3 +1 b^4, itd.

Ponadto na trzeciej „przekątnej” znajdują się kolejne liczby trójkątne, tzn. 136101521, itd.

Dzięki trójkątowi Pascala można też liczyć kombinacje k-elementowe ze zbioru n-elementowego. Algorytm jest następujący - aby znaleźć kombinację k-elementową ze zbioru n-elementowego wystarczy wybrać liczbę stojącą na k-tym miejsceu (licząc od k=0) w n-tym wierszu (samotną jedynkę na samej górze traktujemy jako wiersz zerowy).

Np. kombinacja dwuelementowa z czterech wynosi 6.

 

Zadanie:

1. Narysować trójkąt Pascala do ósmego wiersza włącznie.

2. Policzyć kombinację trójelementową z pięciu.

 

Odpowiedzi:

1.

2. 

 

10.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 4 =
Ostatnio komentowane
1
• 2022-12-07 17:12:14
Śkad wziął się taki wynik?
• 2022-12-05 21:24:47
Ok
• 2022-12-05 13:53:43
ok
• 2022-12-02 16:29:38
dzięki
• 2022-11-28 16:21:19