Trójkąt Pascala – definicja, algorytm, zadania, zastosowanie

Trójkątem Pascala nazywamy następującą konstrukcję:

Po brzegach znajdują się jedynki, wewnątrz natomiast liczb powstałe poprzez zsumowanie dwóch liczb górujących nad daną.

Trójkąt Pascala jest obiektem kombinatorycznym mającym bardzo ciekawe właściwości.

W szczególności każdy wiersz w trójkącie Pascala zawiera kolejne współczynniki występujące we wzorach skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, itd.

$(a \pm b)^0 = 1$

$(a\pm b)^1 = a \pm b = 1 a \pm 1b$

$(a \pm b)^2 = a^2\pm2ab \pm b^2 = 1a^2\pm2ab \pm1 b^2$

$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3=1a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm 1b^3$

$(a\pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6 a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4= 1 a^4 \pm 4a^3b + 6 a^2b^2 \pm 4ab^3 +1 b^4$ , itd.

Ponadto na trzeciej „przekątnej” znajdują się kolejne liczby trójkątne, tzn. $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , $15$ , $21$ , itd.

Dzięki trójkątowi Pascala można też liczyć kombinacje $k$ -elementowe ze zbioru $n$ -elementowego. Algorytm jest następujący - aby znaleźć kombinację $k$ -elementową ze zbioru $n$ -elementowego wystarczy wybrać liczbę stojącą na $k$ -tym miejsceu (licząc od $k=0$ ) w $n$ -tym wierszu (samotną jedynkę na samej górze traktujemy jako wiersz zerowy).