Trójkątem Pascala nazywamy następującą konstrukcję:
Po brzegach znajdują się jedynki, wewnątrz natomiast liczb powstałe poprzez zsumowanie dwóch liczb górujących nad daną.
Trójkąt Pascala jest obiektem kombinatorycznym mającym bardzo ciekawe właściwości.
W szczególności każdy wiersz w trójkącie Pascala zawiera kolejne współczynniki występujące we wzorach skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, itd.
\((a \pm b)^0 = 1\)
\((a\pm b)^1 = a \pm b = 1 a \pm 1b\)
\((a \pm b)^2 = a^2\pm2ab \pm b^2 = 1a^2\pm2ab \pm1 b^2\)
\((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3=1a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm 1b^3\)
\((a\pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6 a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4= 1 a^4 \pm 4a^3b + 6 a^2b^2 \pm 4ab^3 +1 b^4\), itd.
Ponadto na trzeciej „przekątnej” znajdują się kolejne liczby trójkątne, tzn. \(1\), \(3\), \(6\), \(10\), \(15\), \(21\), itd.
Dzięki trójkątowi Pascala można też liczyć kombinacje \(k\)-elementowe ze zbioru \(n\)-elementowego. Algorytm jest następujący - aby znaleźć kombinację \(k\)-elementową ze zbioru \(n\)-elementowego wystarczy wybrać liczbę stojącą na \(k\)-tym miejsceu (licząc od \(k=0\)) w \(n\)-tym wierszu (samotną jedynkę na samej górze traktujemy jako wiersz zerowy).
Np. kombinacja dwuelementowa z czterech wynosi \(6\).
Zadanie:
1. Narysować trójkąt Pascala do ósmego wiersza włącznie.
2. Policzyć kombinację trójelementową z pięciu.
Odpowiedzi:
1.
2.
\(10\).