Wariacje z powtórzeniami – definicja, wzór, zadania

Def.: $k$ -elementową wariacją z powtórzeniami zbioru $n$ -elementowego nazywamy każdy $k$ -wyrazowy ciąg utworzony z elementów tego zbioru.

Twierdzenie: Ilość $k$ -elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ -elementowego wynosi $n\cdot n\cdot ... \cdot n$ ( $k$ razy), tzn.

$\overline{V_n^k} = n^k$

Zauważmy, że powyższe fakty zbieżne są z tym co wynika z reguły mnożenia - jeśli mamy wybrać $k$ elementów ze zbioru $n$ -elementowego, przy czym elementy te mogą się powtarzać, to każdy z nich możemy wybrać na $n$ sposobów, zatem mamy $n^k$ możliwości.

Przykład:

Ciąg $(1,2,1,2,1,2)$ jest sześcioelementową wariacją zbioru $\left \{ 1,2 \right \}$ .

Liczba wszystkich sześcioelementowych wariacji tego zbioru jest równa $2^6 = 64$ .

Liczenie wariacji z powtórzeniami sprowadza się do podnoszenia do potęgi naturalnej.

Zadania:

Ile jest wszystkich siedmiocyfrowych numerów telefonicznych, w których nie występuje cyfra $0$ ?

Odpowiedź:

$9^7 = 4782969$ .

Polecamy również: