Def.: \(k\)-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego nazywamy każdy \(k\)-wyrazowy ciąg utworzony z elementów tego zbioru.
Twierdzenie: Ilość \(k\)-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego wynosi \(n\cdot n\cdot ... \cdot n\) (\(k\) razy), tzn.
\(\overline{V_n^k} = n^k\)
Zauważmy, że powyższe fakty zbieżne są z tym co wynika z reguły mnożenia - jeśli mamy wybrać \(k\) elementów ze zbioru \(n\)-elementowego, przy czym elementy te mogą się powtarzać, to każdy z nich możemy wybrać na \(n\) sposobów, zatem mamy \(n^k\) możliwości.
Przykład:
Ciąg \((1,2,1,2,1,2)\) jest sześcioelementową wariacją zbioru \(\left \{ 1,2 \right \}\).
Liczba wszystkich sześcioelementowych wariacji tego zbioru jest równa \(2^6 = 64\).
Liczenie wariacji z powtórzeniami sprowadza się do podnoszenia do potęgi naturalnej.
Zadania:
Ile jest wszystkich siedmiocyfrowych numerów telefonicznych, w których nie występuje cyfra \(0\)?
Odpowiedź:
\(9^7 = 4782969\).