Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Indukcja matematyczna

W dowodzeniu twierdzeń bardzo przydatna bywa zasada indukcji matematycznej.

Chcemy dowieść prawdziwości zdania T(n). W tym celu musimy zrobić dwa kroki:

(1) sprawdzić, że zdanie T(n) jest prawdziwe dla jakiegoś konkretnego n_{0}.

(2) pokazać, że ze zdania T(n) wynika zdanie T(n+1).

Po wykonaniu tych dwóch kroków został przeprowadzony dowód prawdziwości zdania T(n) dla wszystkich n \ge n_{0}.

 

Przykład:

Udowodnić, że suma kwadratów kolejnych n liczb nieparzystych ma postać  \frac{4n^{3}-n}{3} .

Posłużymy się zasadą indukcji matematycznej. Sprawdźmy, czy zdanie jest prawdziwe dla n = 1.

1^{2}=1.

 \frac{4 \cdot 1^{3}-1}{3} = \frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1.

Dla n = 1 twierdzenie jest prawdziwe.

Pozostaje pokazać, że z prawdziwości tego twierdzenia dla n wynika jego prawdziwość dla n+1.

Rozpiszmy to zdanie.

1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n-1)^{2} =  \frac{4n^{3}-n}{3} - to jest nasze wyjściowe zdanie dla n. Jednocześnie jest to założenie, z którego będziemy potem korzystać.

1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n-1)^{2} +(2(n+1)-1)^{2} =  \frac{4(n+1)^{3}-(n+1)}{3} - to jest wyjściowe twierdzenie dla n+1.

Przekształćmy prawą stronę tego drugiego zdania. Korzystać będziemy ze wzoru skróconego mnożenia (na sześcian sumy).

 \frac{4(n+1)^{3}-(n+1)}{3} =  \frac{4(n^{3}+3n^{2}+3n+1)-n-1}{3} =
\frac{4n^{3}+12n^{2}+12n+4-n-1}{3} = \frac{4n^{3}+12n^{2}+11n+3}{3}.

Teraz zajmijmy się lewą stroną.

1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n-1)^{2} +(2(n+1)-1)^{2} =  
\frac{4n^{3}-n}{3} + (2n+2-1)^{2}

 - korzystając z założenia przekształciliśmy lewą stronę zdania. Teraz (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy) przekształcimy ją dalej.

\frac{4n^{3}-n}{3} + (2n+1)^{2} =\frac{4n^{3}-n}{3} + 4n^{2}+4n+1.

Ostatnim etapem jest doprowadzenie tej strony do postaci takiej samej jak prawa strona. W tym celu sprowadzimy wyrażenie do wspólnego mianownika.


\frac{4n^{3}-n+12n^{2}+12n+3}{3}  =
\frac{4n^{3}+12n^{2}+11n+3}{3} - lewa strona równania jest taka sama jak prawa, zatem twierdzenie jest prawdziwe.

 

Żeby lepiej zrozumieć zasadę indukcji matematycznej wygodnie jest kojarzyć ją z kostkami domina. Żeby przewrócić wszystkie kostki potrzebne są nam dwie rzeczy:

(1) przewrócenie pierwszej, oraz

(2) gwarancja, że przewrócenie danej kostki przewróci kostkę stojącą za nią. 

Zobacz również

  • Dowód wprost

    Klasyczny dowód, zwany inaczej dowodem wprost, polega na przyjęciu założeń i takim wyciąganiu z nich wniosków, by finalnie dojść do tezy dowodzonego twierdzenia.

    Więcej
  • Dowód nie wprost

    Dowód nie wprost pochodzi wprost ze starożytnej Grecji, gdzie w dyskusjach (zwłaszcza prowadzonych przez Sokratesa) był bardzo popularną metodą. Jego idea jest następująca: ...

    Więcej

Losowe zadania

  • Energia kinetyczna w ruchu jednostajnie przyspieszonym

    Jaką energię kinetyczną będzie miał biegnacy gepard o wadze 100kg, po upływie 20s od momentu ruszenia jeżli założymy, że porusza się on ze stałym przyspieszeniem 3 m/s2 ?

    0 Odpowiedz Więcej
  • Transport w Polsce

    Wymień przynajmniej trzy gałęzie transportu towarów i osób. Wskaż, która z nich posiada największe znaczenie w krajowych przewozach towarów i osób w Polsce, używając przynajmniej dwóch argumentów.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Porównywanie potęg

    Która liczba jest większa?a) 45 czy 65? b) 32 czy 22? c) 93 czy 96? d) 53 czy 52?

    0 Odpowiedz Więcej
  • Rodzaje przymiotnika

    Określ rodzaj przymiotnika. Wielką wycieczkę Pięknego domu Rozbitym lustrze Przezroczystymi bańkami Szkala misa Żółtymi gąbkami Rudych włosów Zielonym liściem Mądrzy naukowcy Brudnymi prosiętami

    0 Odpowiedz Więcej
  • Czas mijania dwóch statków kosmicznych

    Statek kosmiczny, który porusza się z prędkością 0,6c i ma długości 800m mija się z lecącym z naprzeciwka ufo. Ufo porusza się z taka samą prędkością, jak statek kosmiczny. Ile czasu względem obserwatora znajdującego się na statku kosmicznym ufo będzie mijało ten statek?

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 5 =
Ostatnio komentowane
Dzięki pomogło bardzo :)
Luna Smift • 2020-06-02 15:17:28
super jest ten tekst
xxxwojtixxx • 2020-06-01 16:35:33
Dziękuję za pomoc w materiale, kurde dzięki goście.
Black • 2020-05-31 18:08:37
słabe
nikt • 2020-05-30 19:12:15
dzięki
x • 2020-05-30 14:53:22