Prawa rachunku zdań

Prawa rachunku zdań (zwane inaczej tautologiami) to zdania połączone operatorami logicznymi w taki sposób, że ich wartość logiczna jest zawsze równa 1, niezależnie od wartości logicznych zdań składowych.

 

Przykład:

Jeśli pies ma na imię Burek to pies ma na imię Burek.

Zdaniem składowym jest (dwukrotnie użyte) zdanie „Pies ma na imię Burek” - i niezależnie od tego, czy jest ono prawdziwe, czy nie, zdanie  „Jeśli pies ma na imię Burek to pies ma na imię Burek” jest prawdziwe.

 

Powyższy przykład obrazuje prawo tożsamości:

p  \Rightarrow  p - każde zdanie implikuje samo siebie.

 

Innym znanym prawem rachunku zdań jest prawo podwójnego przeczenia:

p  \Leftrightarrow    \neg ( \neg p) - każde zdanie jest równoważne podwójnej negacji samego siebie.

 

Kolejne podstawowe prawo rachunku zdań to prawo wyłączonego środka:

p \vee  \neg p - któreś ze zdań p i  \neg p musi być prawdziwe.

 

Z prawem wyłączonego środka związane jest tzw. prawo sprzeczności:

 \neg (p  \wedge   \neg p) - nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zparzeczenie

 

 

Prawdziwe są także następujące prawa dla koniunkcji i alternatywy:

p  \Leftrightarrow p  \wedge  p oraz p  \Leftrightarrow p   \vee   p.

 

Dla Koniunkcji i alternatywy prawdziwe są:

(1) przemienność

p  \wedge  q  \Leftrightarrow  q  \wedge  p

p  \vee  q  \Leftrightarrow  q   \vee   p

(2) łączność

[(p  \wedge  q)  \wedge  r ] \Leftrightarrow [p  \wedge ( q  \wedge  r )]

[(p   \vee  q)  \vee   r ] \Leftrightarrow [p   \vee  ( q  \vee   r )]

(3) rozdzielność

[ p  \wedge  (q  \vee r)] \Leftrightarrow [ (p  \wedge  q)  \vee (p  \wedge r)] - rozdzielność koniunkcji względem alternatywy

[ p  \vee (q    \wedge  r)] \Leftrightarrow [ (p  \vee  q)   \wedge  (p   \vee  r)] - rozdzielność alternatywy względem koniunkcji

 

W celu sprawdzenia, czy dane zdanie jest prawem rachunku zdań (to znaczy, czy jest prawdziwe dla każdego wartościowania poszczególnych jego zmiennych) można posłużyć się tabelką.

 

Przykład:

Sprawdźmy, czy rozdzielność alternatywy względem koniunkcji jest prawem rachunku zdań.

W nagłówkach umieszczone są wszystkie składowe badanego zdania.

Na początek wypisujemy dla zdań pqr wszystkie ich możliwe wartości (każde z nich może być prawdziwe lub fałszywe, więc w sumie mamy 8 możliwości). Następnie, korzystając ze znajomości zasad dotyczących wartościowania poszczególnych operatorów logicznych (w tym przypadku koniunkcji i alternatywy) określamy prawdziwość poszczególnych składowych zdania. Na koniec porównujemy wartości lewej i prawej strony zdania (tj. sprawdzamy czy są one sobie równoważne - kolumny wyróżnione kolorem czerwonym). Obie strony mają taką samą wartość dla wszystkich możliwych wartości zdań pqr, zatem zdanie jest tautologią.

 

Zadanie:

Sprawdzić czy prawem rachunku zdań są pozostałe opisane tutaj prawa. 

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 1 =
Ostatnio komentowane
Ani słowa o czworościanie którego krawędzie, powierzchnie i objętość - są wyrażon...
• 2024-03-04 21:58:56
takie łątwe
• 2024-03-04 15:46:48
"Mianem libertarianizmu zwykło się nazywać najbardziej radykalny nurt liberalizmu." No...
• 2024-03-01 10:11:23
Super i MEGA pomocne!
• 2024-02-28 10:18:34
joł joł jowisz najwiekszy olbrzym gazowy 5 od słonca na pewno nie przeoczysz choć mooj...
• 2024-02-27 14:59:44