1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Prawa rachunku zdań

Prawa rachunku zdań

Prawa rachunku zdań (zwane inaczej tautologiami) to zdania połączone operatorami logicznymi w taki sposób, że ich wartość logiczna jest zawsze równa 1, niezależnie od wartości logicznych zdań składowych.

 

Przykład:

Jeśli pies ma na imię Burek to pies ma na imię Burek.

Zdaniem składowym jest (dwukrotnie użyte) zdanie „Pies ma na imię Burek” - i niezależnie od tego, czy jest ono prawdziwe, czy nie, zdanie  „Jeśli pies ma na imię Burek to pies ma na imię Burek” jest prawdziwe.

 

Powyższy przykład obrazuje prawo tożsamości:

p \Rightarrow p - każde zdanie implikuje samo siebie.

 

Innym znanym prawem rachunku zdań jest prawo podwójnego przeczenia:

p \Leftrightarrow \neg ( \neg p) - każde zdanie jest równoważne podwójnej negacji samego siebie.

 

Kolejne podstawowe prawo rachunku zdań to prawo wyłączonego środka:

p \vee \neg p - któreś ze zdań p i \neg p musi być prawdziwe.

 

Z prawem wyłączonego środka związane jest tzw. prawo sprzeczności:

\neg (p \wedge \neg p) - nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zparzeczenie

 

 

Prawdziwe są także następujące prawa dla koniunkcji i alternatywy:

p \Leftrightarrow p \wedge p oraz p \Leftrightarrow p \vee p.

 

Dla Koniunkcji i alternatywy prawdziwe są:

(1) przemienność

p \wedge q \Leftrightarrow q \wedge p

p \vee q \Leftrightarrow q \vee p

(2) łączność

[(p \wedge q) \wedge r ] \Leftrightarrow [p \wedge ( q \wedge r )]

[(p \vee q) \vee r ] \Leftrightarrow [p \vee ( q \vee r )]

(3) rozdzielność

[ p \wedge (q \vee r)] \Leftrightarrow [ (p \wedge q) \vee (p \wedge r)] - rozdzielność koniunkcji względem alternatywy

[ p \vee (q \wedge r)] \Leftrightarrow [ (p \vee q) \wedge (p \vee r)] - rozdzielność alternatywy względem koniunkcji

 

W celu sprawdzenia, czy dane zdanie jest prawem rachunku zdań (to znaczy, czy jest prawdziwe dla każdego wartościowania poszczególnych jego zmiennych) można posłużyć się tabelką.

 

Przykład:

Sprawdźmy, czy rozdzielność alternatywy względem koniunkcji jest prawem rachunku zdań.

W nagłówkach umieszczone są wszystkie składowe badanego zdania.

Na początek wypisujemy dla zdań p, q i r wszystkie ich możliwe wartości (każde z nich może być prawdziwe lub fałszywe, więc w sumie mamy 8 możliwości). Następnie, korzystając ze znajomości zasad dotyczących wartościowania poszczególnych operatorów logicznych (w tym przypadku koniunkcji i alternatywy) określamy prawdziwość poszczególnych składowych zdania. Na koniec porównujemy wartości lewej i prawej strony zdania (tj. sprawdzamy czy są one sobie równoważne - kolumny wyróżnione kolorem czerwonym). Obie strony mają taką samą wartość dla wszystkich możliwych wartości zdań p, q i r, zatem zdanie jest tautologią.

 

Zadanie:

Sprawdzić czy prawem rachunku zdań są pozostałe opisane tutaj prawa. 

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 2 =
Ostatnio komentowane
Rozbicie dzielnicowe w Polsce (1138-1320)
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33