Tautologia - definicja, przykłady

Tautologia to zdanie prawdziwe. Innymi słowy, jest to zdanie, którego wartość logiczna jest równa 1.

Przykładami tautologii są prawa de Morgana.

Tatuologią będzie również zadanie ale nie będzie nią zdanie - niezależnie od przyjętej wartości zmiennej .

Do sprawdzenia czy zdanie jest tautologią możemy posłużyć się tabelką, w której podstawiając możliwe wartości logiczne zdań składowych, sprawdzimy wartość logiczną całego zdania.

Przykłady tautologii

Sprawdźmy czy tautologią jest zdanie:

.

Zdaniami składowymi są w tym przypadku zdania i . Stwórzmy tabelkę zawierającą te zdania oraz zdania , oraz , a także spójniki i występujące pomiędzy nimi.

W tabelce przyjęliśmy dwie możliwe wartości dla zdaniaia (1 i 0) oraz dwie możliwe wartości dla zdania (również 1 i 0), występujące podwójnie, tak aby lista możliwości była pełna. Uzupełnimy teraz wartości logiczne zdań , i w oparciu o odpowiednie operatory logiczne.

Pierwsza z implikacji jest prawdziwa w trzech przypadkach (fałszywa jedynie wtedy, gdy zdanie miało wartość logiczną 1 a zdanie wartość logiczną 0). Alternatywa również jest prawdziwa trzykrotnie (oprócz sytuacji, gdy żadne ze zdań składowych nie miało wartości logicznej 1). Ostatnie zdanie - będące też implikacją, lecz w przeciwnym kierunku - również trzykrotnie przyjmuje wartość logiczną 1 (z wyłączeniem przypadku, gdy zdanie miało wartość logiczną 0 a zdanie wartość logiczną 1). Uzupełnijmy teraz wartości logiczne alternatywy występującej pomiędzy zdaniami oraz .

W wszystkich przypadkach zdanie to ma wartość logiczną równą 1 - ponieważ za każdym razem któreś ze zdań składowych było zdaniem prawdziwym. Ostatnim etapem jest uzupełnienie wartości logicznej równoważności pomiędzy rozważaną przed chwilą alternatywą a implikacją .

W trzech przypadkach wartość logiczna tej równoważności jest równa 1 (wtedy gdy oba rozważane zdania składowe mają identyczne wartości logiczne), w jednym przypadku natomiast wartość ta jest równa 0 - dzieje się tak wtedy, kiedy alternatywa ma wartość logiczną 1, zaś implikacja ma wartość 0.

W związku z tym analizowane zdanie logiczne nie jest tautologią - istnieją takie dobory wartości początkowych zmiennych składowych tego zdania, by całe zdanie nie było prawdą (dzieje się tak dla i ).