Tautologia to zdanie prawdziwe. Innymi słowy, jest to zdanie, którego wartość logiczna jest równa 1.
Przykładami tautologii są prawa de Morgana.
Tatuologią będzie również zadanie \(a=a\) ale nie będzie nią zdanie \(a>a\) - niezależnie od przyjętej wartości zmiennej \(a\).
Do sprawdzenia czy zdanie jest tautologią możemy posłużyć się tabelką, w której podstawiając możliwe wartości logiczne zdań składowych, sprawdzimy wartość logiczną całego zdania.
Przykłady tautologii
Sprawdźmy czy tautologią jest zdanie:
\(((p \Rightarrow q) \vee (p \vee q)) \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)\).
Zdaniami składowymi są w tym przypadku zdania \(p\) i \(q\). Stwórzmy tabelkę zawierającą te zdania oraz zdania \(p \Rightarrow q\), \(p \vee q\) oraz \(q \Rightarrow p\), a także spójniki \( \vee \) i \( \Leftrightarrow \) występujące pomiędzy nimi.
W tabelce przyjęliśmy dwie możliwe wartości dla zdaniaia \(p\) (1 i 0) oraz dwie możliwe wartości dla zdania \(q\) (również 1 i 0), występujące podwójnie, tak aby lista możliwości była pełna. Uzupełnimy teraz wartości logiczne zdań \(p \Rightarrow q\), \(p \vee q\) i \(q \Rightarrow p\) w oparciu o odpowiednie operatory logiczne.
Pierwsza z implikacji jest prawdziwa w trzech przypadkach (fałszywa jedynie wtedy, gdy zdanie \(p\) miało wartość logiczną 1 a zdanie \(q\) wartość logiczną 0). Alternatywa również jest prawdziwa trzykrotnie (oprócz sytuacji, gdy żadne ze zdań składowych nie miało wartości logicznej 1). Ostatnie zdanie - będące też implikacją, lecz w przeciwnym kierunku - również trzykrotnie przyjmuje wartość logiczną 1 (z wyłączeniem przypadku, gdy zdanie \(p\) miało wartość logiczną 0 a zdanie \(q\) wartość logiczną 1). Uzupełnijmy teraz wartości logiczne alternatywy występującej pomiędzy zdaniami \(p \Rightarrow q\) oraz \(p \vee q\).
W wszystkich przypadkach zdanie to ma wartość logiczną równą 1 - ponieważ za każdym razem któreś ze zdań składowych było zdaniem prawdziwym. Ostatnim etapem jest uzupełnienie wartości logicznej równoważności pomiędzy rozważaną przed chwilą alternatywą a implikacją \(q \Rightarrow p\).
W trzech przypadkach wartość logiczna tej równoważności jest równa 1 (wtedy gdy oba rozważane zdania składowe mają identyczne wartości logiczne), w jednym przypadku natomiast wartość ta jest równa 0 - dzieje się tak wtedy, kiedy alternatywa \((p \Rightarrow q) \vee (p \vee q)\) ma wartość logiczną 1, zaś implikacja \(q \Rightarrow p\) ma wartość 0.
W związku z tym analizowane zdanie logiczne nie jest tautologią - istnieją takie dobory wartości początkowych zmiennych składowych tego zdania, by całe zdanie nie było prawdą (dzieje się tak dla \(p=0\) i \(q=1\)).