Tautologia - definicja, przykłady

Tautologia to zdanie prawdziwe. Innymi słowy, jest to zdanie, którego wartość logiczna jest równa 1.

Przykładami tautologii są prawa de Morgana.

Tatuologią będzie również zadanie a=a ale nie będzie nią zdanie a>a - niezależnie od przyjętej wartości zmiennej a.

Do sprawdzenia czy zdanie jest tautologią możemy posłużyć się tabelką, w której podstawiając możliwe wartości logiczne zdań składowych, sprawdzimy wartość logiczną całego zdania.

Przykłady tautologii

Sprawdźmy czy tautologią jest zdanie:

((p  \Rightarrow q) \vee (p \vee q)) \Leftrightarrow (q \Rightarrow p).

Zdaniami składowymi są w tym przypadku zdania p i q. Stwórzmy tabelkę zawierającą te zdania oraz zdania p \Rightarrow q, p \vee q oraz q \Rightarrow p, a także spójniki  \vee i  \Leftrightarrow występujące pomiędzy nimi.

Tautologia - definicja, przykłady

W tabelce przyjęliśmy dwie możliwe wartości dla zdaniaia p (1 i 0) oraz dwie możliwe wartości dla zdania q (również 1 i 0), występujące podwójnie, tak aby lista możliwości była pełna. Uzupełnimy teraz wartości logiczne zdań p \Rightarrow q, p \vee q i q \Rightarrow p w oparciu o odpowiednie operatory logiczne.

Tautologia - definicja, przykłady

Pierwsza z implikacji jest prawdziwa w trzech przypadkach (fałszywa jedynie wtedy, gdy zdanie p miało wartość logiczną 1 a zdanie q wartość logiczną 0). Alternatywa również jest prawdziwa trzykrotnie (oprócz sytuacji, gdy żadne ze zdań składowych nie miało wartości logicznej 1). Ostatnie zdanie - będące też implikacją, lecz w przeciwnym kierunku - również trzykrotnie przyjmuje wartość logiczną 1 (z wyłączeniem przypadku, gdy zdanie p miało wartość logiczną 0 a zdanie q wartość logiczną 1). Uzupełnijmy teraz wartości logiczne alternatywy występującej pomiędzy zdaniami p \Rightarrow q oraz p \vee q.

Tautologia - definicja, przykłady

W wszystkich przypadkach zdanie to ma wartość logiczną równą 1 - ponieważ za każdym razem któreś ze zdań składowych było zdaniem prawdziwym. Ostatnim etapem jest uzupełnienie wartości logicznej równoważności pomiędzy rozważaną przed chwilą alternatywą a implikacją q \Rightarrow p.

Tautologia - definicja, przykłady

W trzech przypadkach wartość logiczna tej równoważności jest równa 1 (wtedy gdy oba rozważane zdania składowe mają identyczne wartości logiczne), w jednym przypadku natomiast wartość ta jest równa 0 - dzieje się tak wtedy, kiedy alternatywa (p  \Rightarrow q) \vee (p \vee q) ma wartość logiczną 1, zaś implikacja q \Rightarrow p ma wartość 0.

W związku z tym analizowane zdanie logiczne nie jest tautologią - istnieją takie dobory wartości początkowych zmiennych składowych tego zdania, by całe zdanie nie było prawdą (dzieje się tak dla p=0 i q=1).

Polecamy również:

  • Prawa de Morgana

    Dwa szczególnie istotne prawa rachunku zdań to prawa de Morgana. Umożliwiają one przekształcanie koniunkcji na alternatywę oraz alternatywy na koniunkcję. Więcej »

Komentarze (1)
Wynik działania 5 + 4 =
IDK
2019-10-07 17:54:27
W ostatnim nawiasie przykładu jest chyba błąd, bo potem w tabelce jest q=>p
Ostatnio komentowane
Wynik działania 4 + 4 = 8
• 2023-11-28 19:45:38
bardzo zły
• 2023-11-28 18:48:02
jest oki
• 2023-11-28 17:25:48
Bardzo pomocny
• 2023-11-26 12:35:19
Kozak Wytłumaczone
• 2023-11-25 09:56:02