Dowód jest skończonym ciągiem wyrażeń, z których każde albo wynika z poprzedniego, albo jest aksjomatem danej teorii.
Aksjomat to zdanie przyjmowane za prawdziwe bez dowodu. Każda teoria ma swoje aksjomaty, tj. początkowe założenia.
Celem dowodu jest wykazanie prawdziwości twierdzenia. Twierdzenie ma swoje założenia oraz tezę - a celem dowodu jest przeprowadzenie założeń twierdzenia w jego tezę.
Klasyczny dowód, zwany inaczej dowodem wprost, polega na przyjęciu założeń i takim wyciąganiu z nich wniosków, by finalnie dojść do tezy dowodzonego twierdzenia.
Przykład:
Udowodnić, że suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
Każdą liczbę nieparzystą możemy zapisać w postaci \(2k + 1\), gdzie \(k\) jest dowolną liczbą naturalną. Wówczas sumę dwóch liczb nieparzystych zapiszemy \((2k_{1}+1)+(2k_{2}+1)\) co jest równe \(2k_{1} + 1 + 2k_{2}+1 = 2k_{1}+2k_{2}+2\) co z kolei możemy zapisać jako \(2(k_{1}+k_{2}+1)\), co z całą pewnością jest liczbą parzystą - bo jest iloczynem dwóch liczb, z których jedna jest równa \(2\), a druga \((k_{1}+k_{2}+1)\), a wiemy przecież, że w arytmetyce systemu dzisiętnego każda liczba podzielna przez \(2\) jest liczbą parzystą - co kończy dowód.
Na podstawie przyjętych założeń (tj., że mamy do dyspozycji dwie liczby nieparzyste) została udowodniona teza (że suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą). W tym miejscu powyższy fakt stał się twierdzeniem.