Działania na ułamkach zwykłych

Ułamków używamy zawsze wtedy, kiedy chcemy określić coś jako część całości - połowę, ćwiartkę, itd.

Ułamkami zwykłymi nazywamy ułamki zapisywane przy użyciu kreski ułamkowej.

Przykład:

$\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{6}{7}$ , $\frac{29}{3}$ , itd.

Liczbę znajdującą się nad kreską ułamkową nazywamy licznikiem, natomiast liczbę poniżej kreski ułamkowej - mianownikiem.

Jeśli licznik jest mniejszy od mianownika, ułamek nazywamy właściwym.

Jeśli jest na odwrót - tzn. licznik jest większy od mianownika ułamek jest ułamkiem niewłaściwym.

Gdyby licznik był równy mianownikowi ułamek skracałby się po prostu do jedynki.

Przykład:

$\frac{1}{100}$ , $\frac{3}{9}$ , $\frac{4}{5}$ - ułamki właściwe.

$\frac{9}{5}$ , $\frac{7}{6}$ , $\frac{100}{1}$ - ułamki niewłaściwe.

$\frac{3}{3}$ , $\frac{4}{4}$ - inny sposób zapisania liczby 1.

Wyciąganie całości

W przypadku ułamków niewłaściwych możemy wyciągnąć z licznika pewną część całości, a dokładniej tyle, ile razy mianownik mieści się w liczniku.

$\frac{9}{5} = \frac{5 + 4}{5} = 1\frac{4}{5} wyciąganie całości$ - mamy jedną całość i cztery piąte, ponieważ mianownik w liczniku mieści się jeden raz.

$\frac{15}{6} = \frac{12 + 3}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 3}{6} = 2 \frac{3}{6} wyciąganie całości$ - mianownik mieści się w liczniku dwa razy.

Skracanie ułamków

Ułamki zwykłe możemy skracać - w tym celu sprawdzamy, czy licznik jest wielokrotnością mianownika lub na odwrót, albo, innymi słowy, czy licznik i mianownik mają jakiś wspólny dzielnik. Jeśli tak jest, możemy obie te liczby podzielić przez ten właśnie dzielnik.

$\frac{7}{28} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{1}{4} Skracanie ułamków$ - zarówno licznik jak i mianownik dzielą się przez 7, dlatego dokonujemy skrócenia ułamka przez 7.

$\frac{24}{40} = \frac{6 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{6}{10} Skracanie ułamków$ - wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika jest liczba 4. Skracamy ułamek przez 4.

Rozszerzanie ułamków

Przeciwieństwem skracania ułamków jest ich rozszerzanie. Operacja ta polega na pomnożeniu - zarówno licznika jak i mianownika - przez tą samą liczbę.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} Rozszerzanie ułamków$ - rozszerzyliśmy ułamek przez 2.

Dodawanie ułamków

Dwa ułamki zwykłe można dodać tylko wtedy, kiedy mają ten sam mianownik. W przeciwnym wypadku - należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika - korzystając w tym celu ze skracania oraz rozszerzania ułamków.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3+4}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} Dodawanie ułamków$ - oba ułamki zostały sprowadzone do wspólnego mianownika przez rozszerzenie (odpowiednio przez 3 i przez 2), następnie, po zapisaniu na wspólnej kresce ułamkowej, nowe liczniki (tzn. te po rozszerzeniu) zostały dodane. Na samym końcu wyciągnięta została przed ułamek liczba całości (w tym przypadku 1).

Odejmowanie ułamków

Odbywa się ono dokładnie tak samo jak dodawanie, z tą różnicą, że zamiast dodawać liczniki odejmujemy je.

Mnożenie ułamków

W przypadku mnożenia ułamków zwykłych wspólny mianownik nie jest wymagany. Istotne jest natomiast by pamiętać o tym, że - inaczej niż w przypadku dodawania - mnożymy zarówno licznik jak i mianownik.

$\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35} Mnożenie ułamków$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 6}{2 \cdot 3 \cdot 5}= \frac{1 \cdot 6}{ 3 \cdot 5}= \frac{2}{ 5} Mnożenie ułamków$

Jak widać nie zawsze musimy wykonywać mnożenie, czasem bowiem, gdy mamy do czynienia z mnożeniem, można skrócić ułamek w trakcie wykonywania działań - kiedy zarówno nad kreską jak i pod kreską ułamkową znajduje się ta sama liczba (w tym przypadku 2, oraz 3 - po rozpisaniu liczby 6 jako 2 x 3).

Dzielenie ułamków

W przypadku dzielenia ułamków postępujemy podobnie jak w przypadku mnożenia, pamiętać tylko należy, że dzielenie jest mnożeniem przez odwrotność - zatem zamieniamy je na mnożenie odwracając drugi z ułamków (ściślej: zamieniając licznik z mianownikiem, mianownik z licznikiem).

$\frac{3}{8} : \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 3} = \frac{1}{2} Dzielenie ułamków$ - ponieważ mamy do czynienia z dzieleniem, drugi z ułamków odwracamy.

Działania na ułamkach - przykłady:

a) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} Zadania na ułamkach - przykłady dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, rozszerzanie, skracanie$ ,

b) $\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{9} Zadania na ułamkach - przykłady dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, rozszerzanie, skracanie$ ,

c) $( \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{4}) + \frac{1}{3} Zadania na ułamkach - przykłady dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, rozszerzanie, skracanie$ .