Podnosząc ułamki zwykłe do potęgi możemy skorzystać bezpośrednio z definicji lub posłużyć się jedną z własności potęg. Można także zamienić ułamek zwykły na dziesiętny.
Ile wynosi \(( \frac{2}{5} ) ^{2} \)?
Podejdziemy do tego problemu na kilka sposobów.
Przykład:
Zaczniemy od rozpisania potęgi z definicji. Coś do kwadratu oznacza to coś pomnożone przez to samo coś (\(a^2= a \cdot a\)). A zatem
\(( \frac{2}{5} ) ^{2}= \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}= \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{4}{25} \).
Rozpiszmy teraz powyższą potęgę korzystając z tego, że \(( \frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} \). W naszym przypadku \(x=2\).
\(( \frac{2}{5} ) ^{2}= \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} \).
Kolejnym sposobem jest zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny a następnie wykonanie mnożenia pisemnego (pamiętając o odpowiednim ustawieniu przecinka na końcu).
\( \frac{2}{5} = \frac{4}{10} =0,4\).
Mnożymy \(0,4\) przez \(0,4\) otrzymując \(0,16\) (przecinek dwa miejsca od końca - tyle w sumie miejsc od końca pojawiło się w dwóch odsłonach liczby \(0,4\)). Teraz zamieńmy \(0,16\) na ułamek zwykły.
\(0,16= \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \) - po odpowiednim skróceniu (przez 4) otrzymaliśmy ten sam wynik co powyżej.
Dwie pierwsze metody są metodami ogólnymi - możemy je zastosować zawsze. Trzecia metoda zadziała o tyle, o ile dany ułamek ładnie się zamienia na ułamek dziesiętny. Tak więc w przypadku ułamków o mianownikach m.in. 3, 7 czy 9 - nie zastosujemy tej metody. Wówczas zmuszeni jesteśmy potęgować z definicji bądź zamieniając potęgę ułamka na iloczyn potęgi licznika oraz potęgi mianownika.
Co w przypadku potęg wyższych niż dwa? Zasady są te same - z tym, że wówczas mnożymy przez siebie więcej kopii danego ułamka. Przy potęgowaniu przez trzy będą to odpowiednio trzy kopie danego ułamka, przy potęgowaniu przez cztery - cztery, itd.
Uwaga:
Przy podnoszeniu ułamka do potęgi ma znaczenie napisanie nawiasu bądź jego brak.
\(( \frac{1}{ \sqrt{7} }) ^5= \frac{1^5}{ \sqrt{7}^5 } =\frac{1}{ 49\sqrt{7} }\).
Ale
\( \frac{1}{ \sqrt{7} } ^5= \frac{1^5}{ \sqrt{7}} =\frac{1}{ \sqrt{7} }\).
W pierwszym przypadku podnosiliśmy do potęgi cały ułamek, w drugim - jedynie licznik (który z uwagi na bycie jedynką nie uległ zmianie - jeden do dowolnej potęgi to dalej 1). Potęgując ułamki pisanie nawiasu jest konieczne.