Potęgowanie ułamków

Podnosząc ułamki zwykłe do potęgi możemy skorzystać bezpośrednio z definicji lub posłużyć się jedną z własności potęg. Można także zamienić ułamek zwykły na dziesiętny.

Ile wynosi ( \frac{2}{5} ) ^{2} ?

Podejdziemy do tego problemu na kilka sposobów.

 

Przykład:

Zaczniemy od rozpisania potęgi z definicji. Coś do kwadratu oznacza to coś pomnożone przez to samo coś (a^2= a \cdot a). A zatem

( \frac{2}{5} ) ^{2}=  \frac{2}{5}  \cdot  \frac{2}{5}=  \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{4}{25} .

Rozpiszmy teraz powyższą potęgę korzystając z tego, że ( \frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} . W naszym przypadku x=2.

( \frac{2}{5} ) ^{2}=  \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} .

Kolejnym sposobem jest zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny a następnie wykonanie mnożenia pisemnego (pamiętając o odpowiednim ustawieniu przecinka na końcu).

 \frac{2}{5} = \frac{4}{10} =0,4.

Mnożymy 0,4 przez 0,4 otrzymując 0,16 (przecinek dwa miejsca od końca - tyle w sumie miejsc od końca pojawiło się w dwóch odsłonach liczby 0,4). Teraz zamieńmy 0,16 na ułamek zwykły.

0,16= \frac{16}{100} = \frac{4}{25} - po odpowiednim skróceniu (przez 4) otrzymaliśmy ten sam wynik co powyżej.

 

Dwie pierwsze metody są metodami ogólnymi - możemy je zastosować zawsze. Trzecia metoda zadziała o tyle, o ile dany ułamek ładnie się zamienia na ułamek dziesiętny. Tak więc w przypadku ułamków o mianownikach m.in. 3, 7 czy 9 - nie zastosujemy tej metody. Wówczas zmuszeni jesteśmy potęgować z definicji bądź zamieniając potęgę ułamka na iloczyn potęgi licznika oraz potęgi mianownika.

 

Co w przypadku potęg wyższych niż dwa? Zasady są te same - z tym, że wówczas mnożymy przez siebie więcej kopii danego ułamka. Przy potęgowaniu przez trzy będą to odpowiednio trzy kopie danego ułamka, przy potęgowaniu przez cztery - cztery, itd.

 

Uwaga:

Przy podnoszeniu ułamka do potęgi ma znaczenie napisanie nawiasu bądź jego brak.

( \frac{1}{ \sqrt{7} }) ^5= \frac{1^5}{ \sqrt{7}^5 } =\frac{1}{ 49\sqrt{7} }.

Ale

 \frac{1}{ \sqrt{7} } ^5= \frac{1^5}{ \sqrt{7}} =\frac{1}{ \sqrt{7} }.

W pierwszym przypadku podnosiliśmy do potęgi cały ułamek, w drugim - jedynie licznik (który z uwagi na bycie jedynką nie uległ zmianie - jeden do dowolnej potęgi to dalej 1). Potęgując ułamki pisanie nawiasu jest konieczne.

Polecamy również:

  • Porównywanie ułamków

    Porównywanie ułamków to proces, w wyniku którego chcielibyśmy powiedzieć: ten ułamek jest większy od tamtego bądź ten ułamek jest mniejszy od tamtego lub też te ułamki są równe. W jaki sposób możemy się upewnić co do tego, które z tych zdań jest prawdziwe? Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
Śkad wziął się taki wynik?
• 2022-12-05 21:24:47
Ok
• 2022-12-05 13:53:43
ok
• 2022-12-02 16:29:38
dzięki
• 2022-11-28 16:21:19
ok
• 2022-11-25 15:27:39