Porównywanie ułamków

Porównywanie ułamków to proces, w wyniku którego chcielibyśmy powiedzieć: ten ułamek jest większy od tamtego bądź ten ułamek jest mniejszy od tamtego lub też te ułamki są równe. W jaki sposób możemy się upewnić co do tego, które z tych zdań jest prawdziwe?

Są różne metody porównywania ułamków. Najlepiej prześledzić je analizując poniższe przykłady. W szczególności istotną rolę w tego typu zadaniach odgrywa sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika ale nie zawsze jest to konieczne. Czasem wystarczy odpowiednio posłużyć się wyobraźnią (np. dorabiając do porównywanych ułamków jakąś sytuację życiową, mama dzieliła cukierki pomiędzy dzieci, itd.). Możemy także porównywane ułamki zamienić na ułamki dziesiętne.

 

Przykład:

Która z liczb jest większa:  \frac{1}{2} czy  \frac{1}{3} ?

Odwołajmy się do wyobraźni: dzielimy dwa identyczne torty odpowiednio na dwie części pierwszy oraz trzy części drugi. Następnie bierzemy po jednej części z każdego tortu. Oczywiście kawałki pierwszego tortu będą większe od kawałków drugiego tortu. Stąd  \frac{1}{2} > \frac{1}{3} .

Przykład:

Porównując ułamki o wspólnym mianowniku wystarczy spojrzeć na ich liczniki. Ten z nich, który ma większy licznik, ma też większą wartość.

 \frac{7}{18} > \frac{3}{18} .

Przykład:

Porównując ułamki o wspólnym liczniku, patrzymy dokładnie odwrotnie - większy jest ten, który ma mniejszy mianownik.

 \frac{7}{18} > \frac{7}{26}

Dlaczego tak jest? Wyobraźmy sobie, że dzielimy dwie pizze - pierwszą na 18 części, drugą - na 26 (oczywiście kawałki drugiej pizzy będą w związku z tym mniejsze). Następnie z obu bierzemy po 7 kawałków. Za którym razem będziemy mieć więcej?

Przykład:

W przypadku ułamków, które nie mają ani wspólnego licznika ani mianownika najsensowniej jest sprowadzić oba ułamki do tego samego mianownika.

Porównujemy  \frac{3}{5} i  \frac{5}{7} . Sprowadźmy oba ułamki do wspólnego mianownika.

 \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}

 \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35}

A zatem  \frac{21}{35} < \frac{25}{35} , a więc również  \frac{3}{5} < \frac{5}{7} .

Przykład:

Do porównania ułamków różnych typów (tj. ułamka zwykłego z dziesiętnym) konieczne jest przejście na jednakowy zapis. Możemy oba ułamki sprowadzić do postaci ułamków zwykłych.

Porównujemy  \frac{3}{7} i 0,4. Zamieńmy drugi z tych ułamków na ułamek zwykły. 0,4 =  \frac{4}{10} = \frac{2}{5} .

Sprowadźmy teraz oba ułamki do wspólnego mianownika.

 \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}

 \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35}

Tak więc  \frac{15}{35} > \frac{14}{35} , zatem  \frac{3}{7} > \frac{2}{5} .

Możemy również zamienić pierwszy ułamek na ułamek dziesiętny. W tym celu wykonujemy np. dzielenie pisemne otrzymując  \frac{3}{7} =0,42857142...=0,(428571), skąd też widzimy, że  \frac{3}{7} > \frac{2}{5} .

Przykład:

Jak porównać ułamki niewłaściwe? Opróczy wymienionych powyżej metod możemy także spojrzeć na to, czy może któryś z ułamków po wyłączeniu całości nie zawiera tych całości po prostu wiecej - nie musimy się wówczas przejmować ich częścią ułamkową.

Porównajmy  \frac{289}{15} i  \frac{345}{19}. Zacznijmy od wyciągnięcia całości z obu ułamków.

 \frac{289}{15} =19 \frac{4}{15}

 \frac{345}{19} =18 \frac{3}{19}

A zatem pierwszy z tych ułamków zawiera więcej całości, tak więc musi być większy.

Polecamy również:

  • Potęgowanie ułamków

    Podnosząc ułamki zwykłe do potęgi możemy skorzystać bezpośrednio z definicji lub posłużyć się jedną z własności potęg. Można także zamienić ułamek zwykły na dziesiętny. Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 3 =
Ostatnio komentowane
Przydały mi się te choroby
• 2022-10-02 10:10:41
Yyy
• 2022-10-01 13:23:41
Super przydało mi się to do zadania z Religii
• 2022-09-29 12:48:27
Dziękuję, pomogło mi w nauce :)
• 2022-09-29 12:05:27
Bardzo pomocny
• 2022-09-29 09:23:04