Całka oznaczona

Całka oznaczona jest jednym z podstawowych pojęć w rachunku różniczkowym.

 

Definicja

Aby zdefiniować całkę oznaczoną prześledźmy następujący tok rozumowania.

Rozważamy funkcję f(x) określoną i ograniczoną na przedziale [a,b] (nazywanym przedziałem całkowania). Przedział [a,b] dzielimy na przedziały częściowe [a,a_1], [a_1,a_2], [a_2,a_3], ..., [a_{n-1},b], gdzie

a<a_1<a_2<a_3<...<a_{n-1}<b.

Długości tych przedziałów oznaczmy odpowiednio  \Delta x_1,  \Delta x_2,  \Delta x_3, ...,  \Delta x_n.

W każdym z przedziałów obieramy dowolnie jeden punkt - punkty te oznaczamy odpowiednio x_1, x_2, x_3, ..., x_n.

Następnie obliczamy wartości funkcji f(x) w tych punktach: f(x_1), f(x_2), f(x_3), ..., f(x_n) oraz tworzymy iloczyny f(x_1) \Delta x_1, f(x_2) \Delta x_2, f(x_3) \Delta x_3, ..., f(x_n) \Delta x_n.

Możemy teraz policzyć sumę tych iloczynów:

f(x_1) \Delta x_1+f(x_2) \Delta x_2+f(x_3) \Delta x_3 +...+f(x_n) \Delta x_n= \sum_{ k=1}^{ n} f(x_k) \Delta x_k

Jeśli weźmiemy dodatkowo granicę tak określonego ciągu (przy n dążącym do nieskończoności) - a zatem będziemy dzielić początkowy przedział na coraz większą liczbę przedziałów częściowych - otrzymamy właśnie definicję całki oznaczonej:

 \int_{a}^{b } f(x)dx =  \lim_{ n \to \infty }  \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x_k

Liczby a i b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.

 

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Całka oznaczona jest narzędziem, które umożliwia nam liczenie pola pod wykresem danej funkcji (a dokładniej pola pomiędzy wykresem funkcji a osią x - oczywiście w przedziale [a,b]).

Zwróćmy uwagę, że f(x_k) \Delta x_k to tak naprawdę pola prostokątów

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 5 =
Ostatnio komentowane
cool
xoxo • 2021-01-27 20:31:29
Bardzo Łatwe XD
Plazma • 2021-01-27 18:45:05
5
Anna D • 2021-01-27 16:49:07
:>
q • 2021-01-27 10:05:09
es
es • 2021-01-27 09:55:01