Całka oznaczona

Całka oznaczona jest jednym z podstawowych pojęć w rachunku różniczkowym.

Definicja

Aby zdefiniować całkę oznaczoną prześledźmy następujący tok rozumowania.

Rozważamy funkcję $f(x)$ określoną i ograniczoną na przedziale $[a,b]$ (nazywanym przedziałem całkowania). Przedział $[a,b]$ dzielimy na przedziały częściowe $[a,a_1]$ , $[a_1,a_2]$ , $[a_2,a_3]$ , $...$ , $[a_{n-1},b]$ , gdzie

$a<a_1<a_2<a_3<...<a_{n-1}<b$ .

Długości tych przedziałów oznaczmy odpowiednio $\Delta x_1$ , $\Delta x_2$ , $\Delta x_3$ , $...$ , $\Delta x_n$ .

W każdym z przedziałów obieramy dowolnie jeden punkt - punkty te oznaczamy odpowiednio $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $...$ , $x_n$ .

Następnie obliczamy wartości funkcji $f(x)$ w tych punktach: $f(x_1)$ , $f(x_2)$ , $f(x_3)$ , $...$ , $f(x_n)$ oraz tworzymy iloczyny $f(x_1) \Delta x_1$ , $f(x_2) \Delta x_2$ , $f(x_3) \Delta x_3$ , $...$ , $f(x_n) \Delta x_n$ .

Możemy teraz policzyć sumę tych iloczynów:

$f(x_1) \Delta x_1+f(x_2) \Delta x_2+f(x_3) \Delta x_3 +...+f(x_n) \Delta x_n= \sum_{ k=1}^{ n} f(x_k) \Delta x_k$

Jeśli weźmiemy dodatkowo granicę tak określonego ciągu (przy $n$ dążącym do nieskończoności) - a zatem będziemy dzielić początkowy przedział na coraz większą liczbę przedziałów częściowych - otrzymamy właśnie definicję całki oznaczonej:

$\int_{a}^{b } f(x)dx = \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x_k$

Liczby $a$ i $b$ nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Całka oznaczona jest narzędziem, które umożliwia nam liczenie pola pod wykresem danej funkcji (a dokładniej pola pomiędzy wykresem funkcji a osią $x$ - oczywiście w przedziale $[a,b]$ ).

Zwróćmy uwagę, że $f(x_k) \Delta x_k$ to tak naprawdę pola prostokątów o bokach $\Delta x_k$ i $f(x_k)$ . Im więcej takich prostokątów weźmiemy pod uwagę (tzn. im gęściej podzielimy początkowy przedział $[a,b]$ ) tym bliższa naszym oczekiwaniom będzie obliczana wartość całki.

Pole znajdujące się nad osią $x$ wyrazi się całką o dodatniej wartości, natomiast pole figury znajdującej się poniżej osi - całką ze znakiem minus.

Formalnie można to wyrazić w następujący sposób:

Pole ograniczone wykresem funkcji $f(x)$ , osią $x$ oraz prostymi $x=a$ i $x=b$ jest równe całce oznaczonej $\int_{a}^{b } f(x)dx$

Twierdzenie

Jeżeli funkcja $f(x)$ jest ciągła w przedziale $[a,b]$ i $F(x)$ jest jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to

$\int_{ a}^{b } f(x)dx = F(b)-F(a)$ (jest to wzór Newtona-Leibniza).

Powyższy wzór jest metodą obliczania całek oznaczonych. W tym celu znajdujemy funkcję pierwotną danej funkcji (a zatem obliczamy całkę nieoznaczoną), a następnie od wartości tej funkcji pierwotnej (całki nieoznaczonej) liczonej w górnej granicy całkowania odejmujemy jej wartość policzoną w dolnej granicy całkowania.

Przykład

Policzmy całkę oznaczoną z funkcji $f(x)=x^2$ w przedziale $[1,2]$ . Przypomnijmy, że całką nieoznaczoną z $x^2$ jest $\frac{x^3}{3} +c$ , ponieważ taka jest jej funkcja pierwotna. A zatem:

$\displaystyle{ \left \int_{1}^{2} x^2dx = \frac{x^3}{3} \right|_1^2}$ - po obliczeniu całki nieoznaczonej granice całkowania zapisujemy za kreską, po prawej stronie - teraz wyznaczymy wartość całki, podstawiając te granice do funkcji pierwotnej:

$= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Interpretacja geometryczna powyższych wyliczeń jest następująca:

Pole zaznaczonego obszaru pod parabolą (a zatem obszaru ograniczonego wykresem funkcji $x^2$ , osią $x$ oraz prostymi $x=1$ , $x=2$ ) jest równe $\frac{7}{3}$ .

Własności całki oznaczonej

$\int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx$ - zamiana górnej i dolnej granicy całkowania zmienia wartość całki na przeciwną;

$\int_{a}^{a} f(x)dx=0$ - przyjęcie identycznej granicy górnej i dolnej daje całkę o wartości zerowej;

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx+ \int_{c}^{b} f(x)dx$ - możliwe jest rozbicie całki początkowej na dwie całki poprzez podział przedziału całkowania na dwa przedziały pokrywające ten przedział.

Polecamy również:

Całka nieoznaczona

Całkę nieoznaczoną definiujemy w oparciu o... Więcej »
Całki - podstawowe wzory

Podstawowe wzory rachunku całkowego Więcej »
Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie jest jedną z podstawowych technik całkowania... Więcej »
Całkowanie przez części

Całkowanie przez części jest drugą obok całkowania przez podstawianie metodą obliczania całek... Więcej »
Całkowanie funkcji wymiernych

O całkowaniu funkcji wymiernych mówimy w sytuacji gdy funkcją podcałkową jest funkcja postaci... Więcej »

Komentarze (0)

Całka oznaczona

Definicja

Twierdzenie

Przykład

Własności całki oznaczonej

Polecamy również:

Zobacz również

Całka nieoznaczona

Całki - podstawowe wzory

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez części

Całkowanie funkcji wymiernych

Losowe zadania

Bielmo roślin nasiennych

Wyznaczanie punktów wspólnych okręgów

Zbilansuj równanie otrzymywania izotopu wodoru

Działacze kontrreformacji w Polsce

Udowodnij podzielność