Całka oznaczona

Całka oznaczona jest jednym z podstawowych pojęć w rachunku różniczkowym.

 

Definicja

Aby zdefiniować całkę oznaczoną prześledźmy następujący tok rozumowania.

Rozważamy funkcję f(x) określoną i ograniczoną na przedziale [a,b] (nazywanym przedziałem całkowania). Przedział [a,b] dzielimy na przedziały częściowe [a,a_1], [a_1,a_2], [a_2,a_3], ..., [a_{n-1},b], gdzie

a<a_1<a_2<a_3<...<a_{n-1}<b.

Długości tych przedziałów oznaczmy odpowiednio  \Delta x_1,  \Delta x_2,  \Delta x_3, ...,  \Delta x_n.

W każdym z przedziałów obieramy dowolnie jeden punkt - punkty te oznaczamy odpowiednio x_1, x_2, x_3, ..., x_n.

Następnie obliczamy wartości funkcji f(x) w tych punktach: f(x_1), f(x_2), f(x_3), ..., f(x_n) oraz tworzymy iloczyny f(x_1) \Delta x_1, f(x_2) \Delta x_2, f(x_3) \Delta x_3, ..., f(x_n) \Delta x_n.

Możemy teraz policzyć sumę tych iloczynów:

f(x_1) \Delta x_1+f(x_2) \Delta x_2+f(x_3) \Delta x_3 +...+f(x_n) \Delta x_n= \sum_{ k=1}^{ n} f(x_k) \Delta x_k

Jeśli weźmiemy dodatkowo granicę tak określonego ciągu (przy n dążącym do nieskończoności) - a zatem będziemy dzielić początkowy przedział na coraz większą liczbę przedziałów częściowych - otrzymamy właśnie definicję całki oznaczonej:

 \int_{a}^{b } f(x)dx =  \lim_{ n \to \infty }  \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x_k

Liczby a i b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.

 

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Całka oznaczona jest narzędziem, które umożliwia nam liczenie pola pod wykresem danej funkcji (a dokładniej pola pomiędzy wykresem funkcji a osią x - oczywiście w przedziale [a,b]).

Zwróćmy uwagę, że f(x_k) \Delta x_k to tak naprawdę pola prostokątów o bokach  \Delta x_kf(x_k). Im więcej takich prostokątów weźmiemy pod uwagę (tzn. im gęściej podzielimy początkowy przedział [a,b]) tym bliższa naszym oczekiwaniom będzie obliczana wartość całki.

Pole znajdujące się nad osią x wyrazi się całką o dodatniej wartości, natomiast pole figury znajdującej się poniżej osi - całką ze znakiem minus.

Formalnie można to wyrazić w następujący sposób:

Pole ograniczone wykresem funkcji f(x), osią x oraz prostymi x=a i x=b jest równe całce oznaczonej  \int_{a}^{b } f(x)dx

 

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b] i F(x) jest jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to

 

 \int_{ a}^{b } f(x)dx = F(b)-F(a) (jest to wzór Newtona-Leibniza).

 

Powyższy wzór jest metodą obliczania całek oznaczonych. W tym celu znajdujemy funkcję pierwotną danej funkcji (a zatem obliczamy całkę nieoznaczoną), a następnie od wartości tej funkcji pierwotnej (całki nieoznaczonej) liczonej w górnej granicy całkowania odejmujemy jej wartość policzoną w dolnej granicy całkowania.

 

Przykład

Policzmy całkę oznaczoną z funkcji f(x)=x^2 w przedziale [1,2]. Przypomnijmy, że całką nieoznaczoną z x^2 jest  \frac{x^3}{3} +c, ponieważ taka jest jej funkcja pierwotna. A zatem:

\displaystyle{ \left \int_{1}^{2} x^2dx =  \frac{x^3}{3} \right|_1^2}
- po obliczeniu całki nieoznaczonej granice całkowania zapisujemy za kreską, po prawej stronie - teraz wyznaczymy wartość całki, podstawiając te granice do funkcji pierwotnej:

= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

Interpretacja geometryczna powyższych wyliczeń jest następująca:

Pole zaznaczonego obszaru pod parabolą (a zatem obszaru ograniczonego wykresem funkcji x^2, osią x oraz prostymi x=1, x=2) jest równe  \frac{7}{3} .

 

Własności całki oznaczonej

\int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx - zamiana górnej i dolnej granicy całkowania zmienia wartość całki na przeciwną;

\int_{a}^{a} f(x)dx=0 - przyjęcie identycznej granicy górnej i dolnej daje całkę o wartości zerowej;

\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx+ \int_{c}^{b} f(x)dx - możliwe jest rozbicie całki początkowej na dwie całki poprzez podział przedziału całkowania na dwa przedziały pokrywające ten przedział.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 1 =
Ostatnio komentowane
ok
• 2024-05-20 16:01:25
W filmie nie ma ochronki, Ale strzały do robotników
• 2024-05-18 14:53:16
łatwe
• 2024-05-16 19:37:20
Przydatny na po prawe oceny z historii
• 2024-05-15 14:52:53
Witam, nie wiem czy jeszcze strona jest obsługiwana, ale chciałbym poinformować, iż ni...
• 2024-05-14 16:29:23