Całka oznaczona jest jednym z podstawowych pojęć w rachunku różniczkowym.
Definicja
Aby zdefiniować całkę oznaczoną prześledźmy następujący tok rozumowania.
Rozważamy funkcję \(f(x)\) określoną i ograniczoną na przedziale \([a,b]\) (nazywanym przedziałem całkowania). Przedział \([a,b]\) dzielimy na przedziały częściowe \([a,a_1]\), \([a_1,a_2]\), \([a_2,a_3]\), \(...\), \([a_{n-1},b]\), gdzie
\(a<a_1<a_2<a_3<...<a_{n-1}<b\).
Długości tych przedziałów oznaczmy odpowiednio \( \Delta x_1\), \( \Delta x_2\), \( \Delta x_3\), \(...\), \( \Delta x_n\).
W każdym z przedziałów obieramy dowolnie jeden punkt - punkty te oznaczamy odpowiednio \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(...\), \(x_n\).
Następnie obliczamy wartości funkcji \(f(x)\) w tych punktach: \(f(x_1)\), \(f(x_2)\), \(f(x_3)\), \(...\), \(f(x_n)\) oraz tworzymy iloczyny \(f(x_1) \Delta x_1\), \(f(x_2) \Delta x_2\), \(f(x_3) \Delta x_3\), \(...\), \(f(x_n) \Delta x_n\).
Możemy teraz policzyć sumę tych iloczynów:
\(f(x_1) \Delta x_1+f(x_2) \Delta x_2+f(x_3) \Delta x_3 +...+f(x_n) \Delta x_n= \sum_{ k=1}^{ n} f(x_k) \Delta x_k\)
Jeśli weźmiemy dodatkowo granicę tak określonego ciągu (przy \(n\) dążącym do nieskończoności) - a zatem będziemy dzielić początkowy przedział na coraz większą liczbę przedziałów częściowych - otrzymamy właśnie definicję całki oznaczonej:
\( \int_{a}^{b } f(x)dx = \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x_k \)
Liczby \(a\) i \(b\) nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Całka oznaczona jest narzędziem, które umożliwia nam liczenie pola pod wykresem danej funkcji (a dokładniej pola pomiędzy wykresem funkcji a osią \(x\) - oczywiście w przedziale \([a,b]\)).
Zwróćmy uwagę, że \(f(x_k) \Delta x_k\) to tak naprawdę pola prostokątów o bokach \( \Delta x_k\) i \(f(x_k)\). Im więcej takich prostokątów weźmiemy pod uwagę (tzn. im gęściej podzielimy początkowy przedział \([a,b]\)) tym bliższa naszym oczekiwaniom będzie obliczana wartość całki.
Pole znajdujące się nad osią \(x\) wyrazi się całką o dodatniej wartości, natomiast pole figury znajdującej się poniżej osi - całką ze znakiem minus.
Formalnie można to wyrazić w następujący sposób:
Pole ograniczone wykresem funkcji \(f(x)\), osią \(x\) oraz prostymi \(x=a\) i \(x=b\) jest równe całce oznaczonej \( \int_{a}^{b } f(x)dx \)
Twierdzenie
Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła w przedziale \([a,b]\) i \(F(x)\) jest jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to
\( \int_{ a}^{b } f(x)dx = F(b)-F(a) \) (jest to wzór Newtona-Leibniza).
Powyższy wzór jest metodą obliczania całek oznaczonych. W tym celu znajdujemy funkcję pierwotną danej funkcji (a zatem obliczamy całkę nieoznaczoną), a następnie od wartości tej funkcji pierwotnej (całki nieoznaczonej) liczonej w górnej granicy całkowania odejmujemy jej wartość policzoną w dolnej granicy całkowania.
Przykład
Policzmy całkę oznaczoną z funkcji \(f(x)=x^2\) w przedziale \([1,2]\). Przypomnijmy, że całką nieoznaczoną z \(x^2\) jest \( \frac{x^3}{3} +c\), ponieważ taka jest jej funkcja pierwotna. A zatem:
\(\displaystyle{ \left \int_{1}^{2} x^2dx = \frac{x^3}{3} \right|_1^2} \) - po obliczeniu całki nieoznaczonej granice całkowania zapisujemy za kreską, po prawej stronie - teraz wyznaczymy wartość całki, podstawiając te granice do funkcji pierwotnej:
\(= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \)
Interpretacja geometryczna powyższych wyliczeń jest następująca:
Pole zaznaczonego obszaru pod parabolą (a zatem obszaru ograniczonego wykresem funkcji \(x^2\), osią \(x\) oraz prostymi \(x=1\), \(x=2\)) jest równe \( \frac{7}{3} \).
Własności całki oznaczonej
\(\int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx\) - zamiana górnej i dolnej granicy całkowania zmienia wartość całki na przeciwną;
\(\int_{a}^{a} f(x)dx=0\) - przyjęcie identycznej granicy górnej i dolnej daje całkę o wartości zerowej;
\(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx+ \int_{c}^{b} f(x)dx\) - możliwe jest rozbicie całki początkowej na dwie całki poprzez podział przedziału całkowania na dwa przedziały pokrywające ten przedział.