Całka oznaczona jest jednym z podstawowych pojęć w rachunku różniczkowym.
Definicja
Aby zdefiniować całkę oznaczoną prześledźmy następujący tok rozumowania.
Rozważamy funkcję określoną i ograniczoną na przedziale
(nazywanym przedziałem całkowania). Przedział
dzielimy na przedziały częściowe
,
,
,
,
, gdzie
.
Długości tych przedziałów oznaczmy odpowiednio ,
,
,
,
.
W każdym z przedziałów obieramy dowolnie jeden punkt - punkty te oznaczamy odpowiednio ,
,
,
,
.
Następnie obliczamy wartości funkcji w tych punktach:
,
,
,
,
oraz tworzymy iloczyny
,
,
,
,
.
Możemy teraz policzyć sumę tych iloczynów:
Jeśli weźmiemy dodatkowo granicę tak określonego ciągu (przy dążącym do nieskończoności) - a zatem będziemy dzielić początkowy przedział na coraz większą liczbę przedziałów częściowych - otrzymamy właśnie definicję całki oznaczonej:
Liczby i
nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Całka oznaczona jest narzędziem, które umożliwia nam liczenie pola pod wykresem danej funkcji (a dokładniej pola pomiędzy wykresem funkcji a osią - oczywiście w przedziale
).
Zwróćmy uwagę, że to tak naprawdę pola prostokątów o bokach
i
. Im więcej takich prostokątów weźmiemy pod uwagę (tzn. im gęściej podzielimy początkowy przedział
) tym bliższa naszym oczekiwaniom będzie obliczana wartość całki.
Pole znajdujące się nad osią wyrazi się całką o dodatniej wartości, natomiast pole figury znajdującej się poniżej osi - całką ze znakiem minus.
Formalnie można to wyrazić w następujący sposób:
Pole ograniczone wykresem funkcji , osią
oraz prostymi
i
jest równe całce oznaczonej
Twierdzenie
Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale
i
jest jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to
(jest to wzór Newtona-Leibniza).
Powyższy wzór jest metodą obliczania całek oznaczonych. W tym celu znajdujemy funkcję pierwotną danej funkcji (a zatem obliczamy całkę nieoznaczoną), a następnie od wartości tej funkcji pierwotnej (całki nieoznaczonej) liczonej w górnej granicy całkowania odejmujemy jej wartość policzoną w dolnej granicy całkowania.
Przykład
Policzmy całkę oznaczoną z funkcji w przedziale
. Przypomnijmy, że całką nieoznaczoną z
jest
, ponieważ taka jest jej funkcja pierwotna. A zatem:
- po obliczeniu całki nieoznaczonej granice całkowania zapisujemy za kreską, po prawej stronie - teraz wyznaczymy wartość całki, podstawiając te granice do funkcji pierwotnej:
Interpretacja geometryczna powyższych wyliczeń jest następująca:
Pole zaznaczonego obszaru pod parabolą (a zatem obszaru ograniczonego wykresem funkcji , osią
oraz prostymi
,
) jest równe
.
Własności całki oznaczonej
- zamiana górnej i dolnej granicy całkowania zmienia wartość całki na przeciwną;
- przyjęcie identycznej granicy górnej i dolnej daje całkę o wartości zerowej;
- możliwe jest rozbicie całki początkowej na dwie całki poprzez podział przedziału całkowania na dwa przedziały pokrywające ten przedział.