Całkę nieoznaczoną definiujemy w oparciu o pojęcie funkcji pierwotnej.
Definicja
Niech dana będzie funkcja określona w przedziale
. Funkcją pierwotną funkcji
nazywamy każdą funkcję
, której pochodna
równa się danej funkcji
dla każdego
.
Uwaga
Dwie funkcje mające taką samą pochodną w danym przedziale mogą się różnić co najwyżej o stałą. Stałą tą zwyczajowo oznacza się literą .
Przykład
Funkcje oraz
obie mają pochodną
. Ogólniej, wszystkie funkcje postaci
mają pochodną
.
Zatem dla funkcji funkcją pierwotną będzie funkcja
.
Definicja
Całką nieoznaczoną funkcji nazywamy wyrażenie
, gdzie
jest funkcją pierwotną funkcji
, natomiast
- dowolną stałą.
Całkę tą oznaczamy symbolem .
Możemy napisać , gdzie
.
Funkcję nazywamy funkcją podcałkową. Symbol
oznacza różniczkę i wskazuje, po której zmiennej dokonujemy całkowania - w przypadku funkcji więcej niż jednej zmiennej jest możliwe dokonanie całkowania po każdej ze zmiennych.
W oparciu o powyższą definicję widać zatem, że całkowanie jest w pewnym sensie operacją odwrotną do różniczkowania.
Dla tak zdefiniowanej całki prawdziwe są następujące własności:
1) ,
- stały czynnik można wyłączyć przed całkę.
2) - całka sumy równa jest sumie całek. Własność tą nazywamy addytywnością całki względem funkcji podcałkowej.
Metody całkowania
1) "Odgadnięcie" całki w oparciu o "domyślenie się" funkcji pierwotnej
W przypadku niektórych funkcji możemy w łatwy sposób powiedzieć, którą funkcję należało zróżniczkować by otrzymać daną - tym co wówczas zrobiliśmy jest właśnie "odgadnięcie" całki.
Przykładem takiej sytuacji jest całka z funkcji . Wiemy, że ta funkcja jest pochodną funkcji postaci
, stąd
.
2) Policzenie całki w oparciu o podstawowe wzory rachunku całkowego
3) Całkowanie przez podstawienie
4) Całkowanie przez części
5) Całkowanie przez rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste
6) Całkowanie numeryczne (przybliżone)
W tej metodzie do wyznaczenia całki posługujemy się metodami numerycznymi, tj. wspomaganymi komputerowo. Należy liczyć się jednak z tym, że wynik tej procedury może nie dać nam dokładnej szukanej postaci analitycznej a jedynie jej przybliżenie.