Całka nieoznaczona

Całkę nieoznaczoną definiujemy w oparciu o pojęcie funkcji pierwotnej.

 

Definicja

Niech dana będzie funkcja określona w przedziale . Funkcją pierwotną funkcji nazywamy każdą funkcję , której pochodna równa się danej funkcji dla każdego .

 

Uwaga

Dwie funkcje mające taką samą pochodną w danym przedziale mogą się różnić co najwyżej o stałą. Stałą tą zwyczajowo oznacza się literą .

 

Przykład

Funkcje oraz obie mają pochodną . Ogólniej, wszystkie funkcje postaci mają pochodną .

Zatem dla funkcji  funkcją pierwotną będzie funkcja .

 

Definicja

Całką nieoznaczoną funkcji nazywamy wyrażenie , gdzie jest funkcją pierwotną funkcji , natomiast - dowolną stałą.

Całkę tą oznaczamy symbolem .

Możemy napisać , gdzie .

Funkcję  nazywamy funkcją podcałkową. Symbol oznacza różniczkę i wskazuje, po której zmiennej dokonujemy całkowania - w przypadku funkcji więcej niż jednej zmiennej jest możliwe dokonanie całkowania po każdej ze zmiennych.

 

W oparciu o powyższą definicję widać zatem, że całkowanie jest w pewnym sensie operacją odwrotną do różniczkowania.

 

Dla tak zdefiniowanej całki prawdziwe są następujące własności:

1) , - stały czynnik można wyłączyć przed całkę.

2) - całka sumy równa jest sumie całek. Własność tą nazywamy addytywnością całki względem funkcji podcałkowej.

 

Metody całkowania

1) "Odgadnięcie" całki w oparciu o "domyślenie się" funkcji pierwotnej

W przypadku niektórych funkcji możemy w łatwy sposób powiedzieć, którą funkcję należało zróżniczkować by otrzymać daną - tym co wówczas zrobiliśmy jest właśnie "odgadnięcie" całki.

Przykładem takiej sytuacji jest całka z funkcji . Wiemy, że ta funkcja jest pochodną funkcji postaci , stąd .

2) Policzenie całki w oparciu o podstawowe wzory rachunku całkowego

3) Całkowanie przez podstawienie

4) Całkowanie przez części

5) Całkowanie przez rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste

6) Całkowanie numeryczne (przybliżone)

W tej metodzie do wyznaczenia całki posługujemy się metodami numerycznymi, tj. wspomaganymi komputerowo. Należy liczyć się jednak z tym, że wynik tej procedury może nie dać nam dokładnej szukanej postaci analitycznej a jedynie jej przybliżenie.