Całkę nieoznaczoną definiujemy w oparciu o pojęcie funkcji pierwotnej.
Definicja
Niech dana będzie funkcja \(f(x)\) określona w przedziale \((a,b)\). Funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\) nazywamy każdą funkcję \(F(x)\), której pochodna \(F'(x)\) równa się danej funkcji \(f(x)\) dla każdego \(x \in (a,b)\).
Uwaga
Dwie funkcje mające taką samą pochodną w danym przedziale mogą się różnić co najwyżej o stałą. Stałą tą zwyczajowo oznacza się literą \(c\).
Przykład
Funkcje \(x^2+5\) oraz \(x^2\) obie mają pochodną \(2x\). Ogólniej, wszystkie funkcje postaci \(x^2+c\) mają pochodną \(2x\).
Zatem dla funkcji \(f(x) = 2x\) funkcją pierwotną będzie funkcja \(F(x) = x^2 + c\).
Definicja
Całką nieoznaczoną funkcji \(f(x)\) nazywamy wyrażenie \(F(x)+c\), gdzie \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\), natomiast \(c\) - dowolną stałą.
Całkę tą oznaczamy symbolem \( \int_{}^{} f(x) dx\).
Możemy napisać \( \int_{}^{} f(x) dx = F(x)+c\), gdzie \(F'(x)=f(x)\).
Funkcję \(f(x)\) nazywamy funkcją podcałkową. Symbol \(dx\) oznacza różniczkę i wskazuje, po której zmiennej dokonujemy całkowania - w przypadku funkcji więcej niż jednej zmiennej jest możliwe dokonanie całkowania po każdej ze zmiennych.
W oparciu o powyższą definicję widać zatem, że całkowanie jest w pewnym sensie operacją odwrotną do różniczkowania.
Dla tak zdefiniowanej całki prawdziwe są następujące własności:
1) \( \int_{}^{} af(x)dx= a\int_{}^{} f(x)dx\), \(a \neq 0\) - stały czynnik można wyłączyć przed całkę.
2) \( \int_{}^{} (f(x)+g(x))dx= \int_{}^{} f(x)dx+ \int_{}^{} g(x)dx\) - całka sumy równa jest sumie całek. Własność tą nazywamy addytywnością całki względem funkcji podcałkowej.
Metody całkowania
1) "Odgadnięcie" całki w oparciu o "domyślenie się" funkcji pierwotnej
W przypadku niektórych funkcji możemy w łatwy sposób powiedzieć, którą funkcję należało zróżniczkować by otrzymać daną - tym co wówczas zrobiliśmy jest właśnie "odgadnięcie" całki.
Przykładem takiej sytuacji jest całka z funkcji \(2x\). Wiemy, że ta funkcja jest pochodną funkcji postaci \(x^2+c\), stąd \( \int_{}^{} 2x dx= x^2+c\).
2) Policzenie całki w oparciu o podstawowe wzory rachunku całkowego
3) Całkowanie przez podstawienie
4) Całkowanie przez części
5) Całkowanie przez rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste
6) Całkowanie numeryczne (przybliżone)
W tej metodzie do wyznaczenia całki posługujemy się metodami numerycznymi, tj. wspomaganymi komputerowo. Należy liczyć się jednak z tym, że wynik tej procedury może nie dać nam dokładnej szukanej postaci analitycznej a jedynie jej przybliżenie.