Całka nieoznaczona

Całkę nieoznaczoną definiujemy w oparciu o pojęcie funkcji pierwotnej.

 

Definicja

Niech dana będzie funkcja f(x) określona w przedziale (a,b). Funkcją pierwotną funkcji f(x) nazywamy każdą funkcję F(x), której pochodna F'(x) równa się danej funkcji f(x) dla każdego x \in (a,b).

 

Uwaga

Dwie funkcje mające taką samą pochodną w danym przedziale mogą się różnić co najwyżej o stałą. Stałą tą zwyczajowo oznacza się literą c.

 

Przykład

Funkcje x^2+5 oraz x^2 obie mają pochodną 2x. Ogólniej, wszystkie funkcje postaci x^2+c mają pochodną 2x.

Zatem dla funkcji f(x) = 2x funkcją pierwotną będzie funkcja F(x) = x^2 + c.

 

Definicja

Całką nieoznaczoną funkcji f(x) nazywamy wyrażenie F(x)+c, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), natomiast c - dowolną stałą.

Całkę tą oznaczamy symbolem  \int_{}^{} f(x) dx.

Możemy napisać  \int_{}^{} f(x) dx = F(x)+c, gdzie F'(x)=f(x).

Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową. Symbol dx oznacza różniczkę i wskazuje, po której zmiennej dokonujemy całkowania - w przypadku funkcji więcej niż jednej zmiennej jest możliwe dokonanie całkowania po każdej ze zmiennych.

 

W oparciu o powyższą definicję widać zatem, że całkowanie jest w pewnym sensie operacją odwrotną do różniczkowania.

 

Dla tak zdefiniowanej całki prawdziwe są następujące własności:

1)  \int_{}^{} af(x)dx= a\int_{}^{} f(x)dx, a \neq 0 - stały czynnik można wyłączyć przed całkę.

2)  \int_{}^{} (f(x)+g(x))dx= \int_{}^{} f(x)dx+ \int_{}^{} g(x)dx - całka sumy równa jest sumie całek. Własność tą nazywamy addytywnością całki względem funkcji podcałkowej.

 

Metody całkowania

1) "Odgadnięcie" całki w oparciu o "domyślenie się" funkcji pierwotnej

W przypadku niektórych funkcji możemy w łatwy sposób powiedzieć, którą funkcję należało zróżniczkować by otrzymać daną - tym co wówczas zrobiliśmy jest właśnie "odgadnięcie" całki.

Przykładem takiej sytuacji jest całka z funkcji 2x. Wiemy, że ta funkcja jest pochodną funkcji postaci x^2+c, stąd  \int_{}^{} 2x dx= x^2+c.

2) Policzenie całki w oparciu o podstawowe wzory rachunku całkowego

3) Całkowanie przez podstawienie

4) Całkowanie przez części

5) Całkowanie przez rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste

6) Całkowanie numeryczne (przybliżone)

W tej metodzie do wyznaczenia całki posługujemy się metodami numerycznymi, tj. wspomaganymi komputerowo. Należy liczyć się jednak z tym, że wynik tej procedury może nie dać nam dokładnej szukanej postaci analitycznej a jedynie jej przybliżenie.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 4 =
Ostatnio komentowane
"Mianem libertarianizmu zwykło się nazywać najbardziej radykalny nurt liberalizmu." No...
• 2024-03-01 10:11:23
kys(keepurselfsafe)
• 2024-02-28 14:36:21
Super i MEGA pomocne!
• 2024-02-28 10:18:34
joł joł jowisz najwiekszy olbrzym gazowy 5 od słonca na pewno nie przeoczysz choć mooj...
• 2024-02-27 14:59:44
Ok
• 2024-02-27 09:29:45