Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych.
Gdy dane są dwa wielomiany \(P(x)\) i \(Q(x)\), a do tego stopień wielomianu \(P(x)\) jest nie mniejszy niż stopień \(Q(x)\) , to \(P(x)\) można przez \(Q(x)\) podzielić.
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia i tak jeśli dla wielomianów \(P(x)\), \(Q(x)\) i \(W(x)\) zachodzi:
\(P(x) \cdot Q(x) = W(x)\), to można wykonać dzielenie \(W(x) : Q(x) = P(x)\). Podobnie jak w przypadku działań na liczbach - dzielenie może być bez reszty lub z resztą. W tym drugim przypadku do wyniku byłaby dodana reszta wielomianowa \(R(x)\).
Przykład:
Mamy podzielić wielomian\(-2x^{3} + 3x^{2} + 12x -9\) przez dwumian \(x - 3\). Postępujemy w następujący sposób.
Najpierw zastanawiamy się, ile razy w pierwszym składniku wielomianu (\(-2x^{3}\)) mieści się pierwszy składnik dwumianu (tj. \(x\)). Odpowiedź brzmi \(-2x^{2}\) - więc tą liczbę zapisujemy nad kreską. Teraz przez zapisaną liczbę mnożymy oba składniki dwumianu, a wynik mnożenia zapisujemy ze zmienionym znakiem, pod spodem. Wykonujemy dodawanie składników zapisanych pod spodem oraz składników wyjściowego wielomianu. Teraz zastanawiamy się, ile razy w pierwszym składniku tego wielomianu, który otrzymaliśmy po dodawaniu (a zatem w \(-3x^{2}\)) mieści się pierwszy składnik dwumianu, przez który cały czas dzielimy - itd. Procedurę kontynuujemy do momentu, gdy znikną \(x\)-y, tj. kiedy zostanie pod kolejną z kresk bądź sama liczba, bądź nic.
Jeśli na końcu zostałaby jakaś liczba, dzielenie byłoby z resztą, w tym przykładzie natomiast - jest to dzielenie bez reszty.
Wynikiem dzielenia jest wielomian \(-2x^{2} -3x + 3\), zatem:
\((-2x^{3} + 3x^{2} + 12x -9):(x-3) = -2x^{2} - 3x +3\).
Zadanie:
Wykonać następujące dzielenia wielomianów:
a) \((x^{3} + 3x + 7):(x-4)\),
b) \((x^{4} + 6x^{3} - 2):(2x^{2}+1)\),
c) \((3x^{4} - x^{2}):(x-1)\).
Odpowiedzi:
a) \(x^{2} + 7\), r. \(35\),
b) \( \frac{1}{2} x^{2} + 3x - \frac{1}{4} \), r. \(-3x - \frac{7}{4} \),
c) \(3x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2\), r. \(2\).