Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych.

Gdy dane są dwa wielomiany $P(x)$ i $Q(x)$, a do tego stopień wielomianu $P(x)$  jest nie mniejszy niż stopień $Q(x)$ , to  $P(x)$ można przez $Q(x)$ podzielić.

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia i tak jeśli dla wielomianów $P(x)$, $Q(x)$ i $W(x)$ zachodzi:

$P(x) \cdot Q(x) = W(x)$, to można wykonać dzielenie $W(x) : Q(x) = P(x)$. Podobnie jak w przypadku działań na liczbach - dzielenie może być bez reszty lub z resztą. W tym drugim przypadku do wyniku byłaby dodana reszta wielomianowa $R(x)$.

 

Przykład:

Mamy podzielić wielomian$-2x^{3} + 3x^{2} + 12x -9$ przez dwumian $x - 3$. Postępujemy w następujący sposób.

Najpierw zastanawiamy się, ile razy w pierwszym składniku wielomianu ($-2x^{3}$) mieści się pierwszy składnik dwumianu (tj. $x$). Odpowiedź brzmi $-2x^{2}$ - więc tą liczbę zapisujemy nad kreską. Teraz przez zapisaną liczbę mnożymy oba składniki dwumianu, a wynik mnożenia zapisujemy ze zmienionym znakiem, pod spodem. Wykonujemy dodawanie składników zapisanych pod spodem oraz składników wyjściowego wielomianu. Teraz zastanawiamy się, ile razy w pierwszym składniku tego wielomianu, który otrzymaliśmy po dodawaniu (a zatem w $-3x^{2}$) mieści się pierwszy składnik dwumianu, przez który cały czas dzielimy - itd. Procedurę kontynuujemy do momentu, gdy znikną $x$-y, tj. kiedy zostanie pod kolejną z kresk bądź sama liczba, bądź nic.

Jeśli na końcu zostałaby jakaś liczba, dzielenie byłoby z resztą, w tym przykładzie natomiast - jest to dzielenie bez reszty.

Wynikiem dzielenia jest wielomian $-2x^{2} -3x + 3$, zatem:

$(-2x^{3} + 3x^{2} + 12x -9):(x-3) = -2x^{2} - 3x +3$.

 

Zadanie:

Wykonać następujące dzielenia wielomianów:

a) $(x^{3} + 3x + 7):(x-4)$,

b) $(x^{4} + 6x^{3} - 2):(2x^{2}+1)$,

c) $(3x^{4} - x^{2}):(x-1)$.

 

Odpowiedzi: 

a) $x^{2} + 7$, r. $35$,

b) $\frac{1}{2} x^{2} + 3x - \frac{1}{4}$, r. $-3x - \frac{7}{4}$,

c) $3x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2$, r. $2$.