Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe.
Przykład:
Dla jakiej wartości parametru \(m\) wielomian \((3x^{3} + 8x^{2} - 5x -6):(3x +m)\) jest równy wielomianowi \(x^{2} + 2x -3\)?
Żeby odpowiedzieć na to pytanie, musimy zapisać równość w sposób następujący:\((3x^{3} + 8x^{2} - 5x -6) = (3x +m)(x^{2} +2x -3)\) - teraz całe zadanie sprowadza się wyłącznie do wykonania odpowiedniego mnożenia oraz porównania parametrów stojących przy odpowiednich potęgach.
\((3x +m)(x^{2} +2x -3) = 3x^{3} + 6x^{2} - 9x + mx^{2} + 2mx - 3m \), co po uporządkowaniu wynosi \(3x^{3} + (6+m)x^{2} + (2m- 9)x - 3m \).
Chcemy, żeby współczynniki przy odpowiednich potęgach były sobie równe, a zatem
\( \begin{cases} 3 = 3 \\ 8 = 6 + m \\ -5 = 2m-9 \\ -6 =-3m \end{cases} \)
Jak łatwo sprawdzić, jedyną liczbą spełniającą te równania jest liczba \(m = 2\) - i taka też jest odpowiedź w tym zadaniu.
Zadanie:
Dla jakiej wartości parametru \(m\) wielomian \((x^{3} -x^{2} - x -15):(x -3)\) jest równy wielomianowi \(x^{2} + mx +5\)?
Rozwiązanie:
\(m = 2\)