Rozkład wielomianu na czynniki

W tym dziale

Drukuj: Drukuj
Rozmiar: AAA

Zajmując się wielomianami często stajemy przed koniecznością rozłożenia wielomianu na czynniki. W tym celu staramy się zastosować jedną z następujących metod:

1) wyłączenie przed nawias,

2) grupowanie wielomianu,

3) wzory skróconego mnożenia,

4) dzielenie wielomianu/użycie schematu Hornera.

Prześledźmy to na przykładach.

Przykład:

Rozważmy następujący wielomian:

$W(x) = x^3+2x^2-6x$

Ponieważ mamy tutaj możliwość wyłączenia $x$ -a przed nawias, tak właśnie postępujemy.

$W(x) = x(x^2+2x-6)$

Teraz możemy policzyć deltę oraz pierwiastki trójmianu kwadratowego w celu zamiany postaci ogólnej trójmianu na postać iloczynową.

$\Delta =(2)^2-4 \cdot (-6)=4+24=28$

$x_1= \frac{-2- \sqrt{28} }{2} =\frac{-2- 2\sqrt{7} }{2} =\frac{2(-1- \sqrt{7} )}{2} =-1- \sqrt{7}$

$x_2= \frac{-2+ \sqrt{28} }{2} =\frac{-2+ 2\sqrt{7} }{2} =\frac{2(-1+ \sqrt{7} )}{2} =-1+ \sqrt{7}$

Ostatecznie wielomian rozłożony na czynniki ma postać

$W(x) = x(x+1+ \sqrt{7}) (x+1- \sqrt{7})$ .

Przykład:

Rozłóżmy na czynniki wielomian

$W(x)=x^4-1$

Zwróćmy uwagę, że wielomian ten może być zapisany jako $W(x)=(x^2)^2-1^2$ - co z kolei możemy rozbić na dwa nawiasy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ .

$W(x)=(x^2-1)(x^2+1)$

Tutaj możemy ten wzór zastosować ponownie, rozkładając pierwszy nawias.

$W(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$

Ostatniego nawiasu nie jesteśmy w stanie już bardziej rozłożyć - o jego nierozkładalności świadczy na przykład ujemna delta ( $\Delta =0^2-4 \cdot 1 \cdot 1=-4<0$ ). A zatem wielomian został rozłożony na czynniki - pierwsze dwa czynniki są pierwszego stopnia (liniowe), ostatni czynnik jest drugiego stopnia (kwadratowy).

12 następna

Polecamy również:

Dodawanie wielomianów

Jedną z podstawowych operacji, jakie możemy wykonywać na wielomianach, jest ich dodawanie. Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu współczynników stojących przy odpowiednich potęgach. Więcej »
Mnożenie wielomianów

Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie. Więcej »
Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych. Więcej »
Równość wielomianów

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe. Więcej »
Twierdzenie Bezouta

Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie. Więcej »

Ostatnio dodane
Losowe

Komentarze (0)

Joseph Fourier

Tekst zapewne zredagowany przez historyka. Tak naprawdę nic na temat rewolucyjnych osiąg...

furiat • 2019-08-15 11:10:28

Arytmetyka i teoria liczb

Szkoda że nie ma zdań a tak poza tym to fajna strona

Nie kumata862 • 2019-08-06 19:59:23

Felieton

Świetne, że można nauczyć się pisać dobry felieton. Przydaje się ta wiedza także p...

Szymon Owedyk • 2019-08-01 04:28:01

Reportaż

Super wskazówki, jak pisać reportaż. Swoje rady o tym, jak reportaż i felieton piszę,...

Szymon Owedyk • 2019-07-31 20:10:19

Motyw danse macabre

Sorry, ale to nie jest o tańcu śmierci, tylko o "Rozmowie..." w ogóle.

Andr • 2019-07-30 10:51:02