Zajmując się wielomianami często stajemy przed koniecznością rozłożenia wielomianu na czynniki. W tym celu staramy się zastosować jedną z następujących metod:
1) wyłączenie przed nawias,
2) grupowanie wielomianu,
3) wzory skróconego mnożenia,
4) dzielenie wielomianu/użycie schematu Hornera.
Prześledźmy to na przykładach.
Przykład:
Rozważmy następujący wielomian:
Ponieważ mamy tutaj możliwość wyłączenia -a przed nawias, tak właśnie postępujemy.
Teraz możemy policzyć deltę oraz pierwiastki trójmianu kwadratowego w celu zamiany postaci ogólnej trójmianu na postać iloczynową.
Ostatecznie wielomian rozłożony na czynniki ma postać
.
Przykład:
Rozłóżmy na czynniki wielomian
Zwróćmy uwagę, że wielomian ten może być zapisany jako - co z kolei możemy rozbić na dwa nawiasy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia
.
Tutaj możemy ten wzór zastosować ponownie, rozkładając pierwszy nawias.
Ostatniego nawiasu nie jesteśmy w stanie już bardziej rozłożyć - o jego nierozkładalności świadczy na przykład ujemna delta (). A zatem wielomian został rozłożony na czynniki - pierwsze dwa czynniki są pierwszego stopnia (liniowe), ostatni czynnik jest drugiego stopnia (kwadratowy).
Przykład:
Rozłóżmy na czynniki wielomian
Na początek wyłączmy przed nawias to co się da, a zatem .
Zwróćmy teraz uwagę, że jeśli posłużymy się wzorem rozłożymy na czynniki trójmian kwadratowy w nawiasie.
Otrzymaliśmy rozkład wielomianu na dwa powtarzające się dwukrotnie czynniki, każdy stopnia pierwszego.
Przykład:
Rozłóżmy na czynniki wielomian
Zauważmy, że z pierwszych dwóch wyrażeń możemy wyłączyć przed nawias , z ostatnich dwóch natomiast
- dostaniemy wówczas w jednym i w drugim przypadku wyrażenie
w nawiasie.
Teraz wyłączmy ten nawias przed nawias. Otrzymamy wielomian
Kolejną rzeczą, którą tu można zrobić, jest policzenie delty dla . Jest ona równa
, zatem to wyrażenie możemy jeszcze rozpisać wyznaczając jego pierwiastki.
Tak więc po przejściu do postaci iloczynowej wyrażenia wielomian będzie mieć postać