Zajmując się wielomianami często stajemy przed koniecznością rozłożenia wielomianu na czynniki. W tym celu staramy się zastosować jedną z następujących metod:
1) wyłączenie przed nawias,
2) grupowanie wielomianu,
3) wzory skróconego mnożenia,
4) dzielenie wielomianu/użycie schematu Hornera.
Prześledźmy to na przykładach.
Przykład:
Rozważmy następujący wielomian:
\(W(x) = x^3+2x^2-6x\)
Ponieważ mamy tutaj możliwość wyłączenia \(x\)-a przed nawias, tak właśnie postępujemy.
\(W(x) = x(x^2+2x-6)\)
Teraz możemy policzyć deltę oraz pierwiastki trójmianu kwadratowego w celu zamiany postaci ogólnej trójmianu na postać iloczynową.
\( \Delta =(2)^2-4 \cdot (-6)=4+24=28\)
\(x_1= \frac{-2- \sqrt{28} }{2} =\frac{-2- 2\sqrt{7} }{2} =\frac{2(-1- \sqrt{7} )}{2} =-1- \sqrt{7} \)
\(x_2= \frac{-2+ \sqrt{28} }{2} =\frac{-2+ 2\sqrt{7} }{2} =\frac{2(-1+ \sqrt{7} )}{2} =-1+ \sqrt{7} \)
Ostatecznie wielomian rozłożony na czynniki ma postać
\(W(x) = x(x+1+ \sqrt{7}) (x+1- \sqrt{7})\).
Przykład:
Rozłóżmy na czynniki wielomian
\(W(x)=x^4-1\)
Zwróćmy uwagę, że wielomian ten może być zapisany jako \(W(x)=(x^2)^2-1^2\) - co z kolei możemy rozbić na dwa nawiasy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
\(W(x)=(x^2-1)(x^2+1)\)
Tutaj możemy ten wzór zastosować ponownie, rozkładając pierwszy nawias.
\(W(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\)
Ostatniego nawiasu nie jesteśmy w stanie już bardziej rozłożyć - o jego nierozkładalności świadczy na przykład ujemna delta (\( \Delta =0^2-4 \cdot 1 \cdot 1=-4<0\)). A zatem wielomian został rozłożony na czynniki - pierwsze dwa czynniki są pierwszego stopnia (liniowe), ostatni czynnik jest drugiego stopnia (kwadratowy).
Przykład:
Rozłóżmy na czynniki wielomian
\(W(x) = 25x^4-60x^3+36x^2\)
Na początek wyłączmy przed nawias to co się da, a zatem \(x^2\).
\(W(x) = x^2(25x^2-60x+36)\)
Zwróćmy teraz uwagę, że jeśli posłużymy się wzorem \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) rozłożymy na czynniki trójmian kwadratowy w nawiasie.
\(W(x) = x^2(5x-6)^2\)
Otrzymaliśmy rozkład wielomianu na dwa powtarzające się dwukrotnie czynniki, każdy stopnia pierwszego.
Przykład:
Rozłóżmy na czynniki wielomian
\(W(x) = 2x^3-4x^2-5x+10\)
Zauważmy, że z pierwszych dwóch wyrażeń możemy wyłączyć przed nawias \(2x^2\), z ostatnich dwóch natomiast \(-5\) - dostaniemy wówczas w jednym i w drugim przypadku wyrażenie \((x-2)\) w nawiasie.
\(W(x) = 2x^2(x-2)-5(x-2)\)
Teraz wyłączmy ten nawias \((x-2)\) przed nawias. Otrzymamy wielomian
\(W(x) = (x-2)(2x^2-5)\)
Kolejną rzeczą, którą tu można zrobić, jest policzenie delty dla \(2x^2-5\). Jest ona równa \( \Delta =0^2-4 \cdot 2 \cdot (-5)=40\), zatem to wyrażenie możemy jeszcze rozpisać wyznaczając jego pierwiastki.
\(x_1= \frac{0- \sqrt{40} }{4} =\frac{ -2\sqrt{10} }{4} =\frac{- \sqrt{10} }{2}\)
\(x_2= \frac{0+ \sqrt{40} }{4} =\frac{ 2\sqrt{10} }{4} =\frac{ \sqrt{10} }{2}\)
Tak więc po przejściu do postaci iloczynowej wyrażenia \(2x^2-5\) wielomian będzie mieć postać
\(W(x) = (x-2)2(x- \frac{ \sqrt{10} }{2} )(x+ \frac{ \sqrt{10} }{2} )\)
\(W(x) = 2(x-2)(x- \frac{ \sqrt{10} }{2} )(x+ \frac{ \sqrt{10} }{2} )\)