Rozkład wielomianu na czynniki

Zajmując się wielomianami często stajemy przed koniecznością rozłożenia wielomianu na czynniki. W tym celu staramy się zastosować jedną z następujących metod:

1) wyłączenie przed nawias,

2) grupowanie wielomianu,

3) wzory skróconego mnożenia,

4) dzielenie wielomianu/użycie schematu Hornera.

Prześledźmy to na przykładach.

Przykład:

Rozważmy następujący wielomian:

W(x) = x^3+2x^2-6x

Ponieważ mamy tutaj możliwość wyłączenia x-a przed nawias, tak właśnie postępujemy.

W(x) = x(x^2+2x-6)

Teraz możemy policzyć deltę oraz pierwiastki trójmianu kwadratowego w celu zamiany postaci ogólnej trójmianu na postać iloczynową.

 \Delta =(2)^2-4 \cdot (-6)=4+24=28

x_1= \frac{-2- \sqrt{28} }{2} =\frac{-2- 2\sqrt{7} }{2} =\frac{2(-1- \sqrt{7} )}{2} =-1- \sqrt{7}

x_2= \frac{-2+ \sqrt{28} }{2} =\frac{-2+ 2\sqrt{7} }{2} =\frac{2(-1+ \sqrt{7} )}{2} =-1+ \sqrt{7}

Ostatecznie wielomian rozłożony na czynniki ma postać

W(x) = x(x+1+ \sqrt{7}) (x+1- \sqrt{7}).

Przykład:

Rozłóżmy na czynniki wielomian

W(x)=x^4-1

Zwróćmy uwagę, że wielomian ten może być zapisany jako W(x)=(x^2)^2-1^2 - co z kolei możemy rozbić na dwa nawiasy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia a^2-b^2=(a-b)(a+b).

W(x)=(x^2-1)(x^2+1)

Tutaj możemy ten wzór zastosować ponownie, rozkładając pierwszy nawias.

W(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)

Ostatniego nawiasu nie jesteśmy w stanie już bardziej rozłożyć - o jego nierozkładalności świadczy na przykład ujemna delta ( \Delta =0^2-4 \cdot 1 \cdot 1=-4<0). A zatem wielomian został rozłożony na czynniki - pierwsze dwa czynniki są pierwszego stopnia (liniowe), ostatni czynnik jest drugiego stopnia (kwadratowy).

 

Przykład:

Rozłóżmy na czynniki wielomian

W(x) = 25x^4-60x^3+36x^2

Na początek wyłączmy przed nawias to co się da, a zatem x^2.

W(x) = x^2(25x^2-60x+36)

Zwróćmy teraz uwagę, że jeśli posłużymy się wzorem a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 rozłożymy na czynniki trójmian kwadratowy w nawiasie.

W(x) = x^2(5x-6)^2

Otrzymaliśmy rozkład wielomianu na dwa powtarzające się dwukrotnie czynniki, każdy stopnia pierwszego.

Przykład:

Rozłóżmy na czynniki wielomian

W(x) = 2x^3-4x^2-5x+10

Zauważmy, że z pierwszych dwóch wyrażeń możemy wyłączyć przed nawias 2x^2, z ostatnich dwóch natomiast -5 - dostaniemy wówczas w jednym i w drugim przypadku wyrażenie (x-2) w nawiasie.

W(x) = 2x^2(x-2)-5(x-2)

Teraz wyłączmy ten nawias (x-2) przed nawias. Otrzymamy wielomian

W(x) = (x-2)(2x^2-5)

Kolejną rzeczą, którą tu można zrobić, jest policzenie delty dla 2x^2-5. Jest ona równa  \Delta =0^2-4 \cdot 2 \cdot (-5)=40, zatem to wyrażenie możemy jeszcze rozpisać wyznaczając jego pierwiastki.

x_1= \frac{0- \sqrt{40} }{4} =\frac{ -2\sqrt{10} }{4} =\frac{- \sqrt{10} }{2}

x_2= \frac{0+ \sqrt{40} }{4} =\frac{ 2\sqrt{10} }{4} =\frac{ \sqrt{10} }{2}

Tak więc po przejściu do postaci iloczynowej wyrażenia 2x^2-5 wielomian będzie mieć postać

W(x) = (x-2)2(x- \frac{ \sqrt{10} }{2}  )(x+ \frac{ \sqrt{10} }{2}  )

W(x) = 2(x-2)(x- \frac{ \sqrt{10} }{2}  )(x+ \frac{ \sqrt{10} }{2}  )

Polecamy również:

  • Dodawanie wielomianów

    Jedną z podstawowych operacji, jakie możemy wykonywać na wielomianach, jest ich dodawanie. Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu współczynników stojących przy odpowiednich potęgach.  Więcej »

  • Mnożenie wielomianów

    Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie. Więcej »

  • Dzielenie wielomianów

    Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych. Więcej »

  • Równość wielomianów

    Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe. Więcej »

  • Twierdzenie Bezouta

    Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie. Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 2 =
Ostatnio komentowane
Czyli,powiedzenie Polak Węgier dwa bratanki,nie jak się nie odnoszą względem pochodzen...
• 2022-06-16 19:03:58
ekstra
• 2022-06-18 17:12:40
ok
• 2022-06-08 15:52:28
dzięks
• 2022-06-06 19:26:13
Ale proste
• 2022-06-06 14:23:48