Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Rozkład wielomianu na czynniki

Ostatnio komentowane
Tekst zapewne zredagowany przez historyka. Tak naprawdę nic na temat rewolucyjnych osiąg...
furiat • 2019-08-15 11:10:28
Szkoda że nie ma zdań a tak poza tym to fajna strona
Nie kumata862 • 2019-08-06 19:59:23
Świetne, że można nauczyć się pisać dobry felieton. Przydaje się ta wiedza także p...
Szymon Owedyk • 2019-08-01 04:28:01
Super wskazówki, jak pisać reportaż. Swoje rady o tym, jak reportaż i felieton piszę,...
Szymon Owedyk • 2019-07-31 20:10:19
Sorry, ale to nie jest o tańcu śmierci, tylko o "Rozmowie..." w ogóle.
Andr • 2019-07-30 10:51:02
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Zajmując się wielomianami często stajemy przed koniecznością rozłożenia wielomianu na czynniki. W tym celu staramy się zastosować jedną z następujących metod:

1) wyłączenie przed nawias,

2) grupowanie wielomianu,

3) wzory skróconego mnożenia,

4) dzielenie wielomianu/użycie schematu Hornera.

Prześledźmy to na przykładach.

Przykład:

Rozważmy następujący wielomian:

W(x) = x^3+2x^2-6x

Ponieważ mamy tutaj możliwość wyłączenia x-a przed nawias, tak właśnie postępujemy.

W(x) = x(x^2+2x-6)

Teraz możemy policzyć deltę oraz pierwiastki trójmianu kwadratowego w celu zamiany postaci ogólnej trójmianu na postać iloczynową.

 \Delta =(2)^2-4 \cdot (-6)=4+24=28

x_1= \frac{-2- \sqrt{28} }{2} =\frac{-2- 2\sqrt{7} }{2} =\frac{2(-1- \sqrt{7} )}{2} =-1- \sqrt{7}

x_2= \frac{-2+ \sqrt{28} }{2} =\frac{-2+ 2\sqrt{7} }{2} =\frac{2(-1+ \sqrt{7} )}{2} =-1+ \sqrt{7}

Ostatecznie wielomian rozłożony na czynniki ma postać

W(x) = x(x+1+ \sqrt{7}) (x+1- \sqrt{7}).

Przykład:

Rozłóżmy na czynniki wielomian

W(x)=x^4-1

Zwróćmy uwagę, że wielomian ten może być zapisany jako W(x)=(x^2)^2-1^2 - co z kolei możemy rozbić na dwa nawiasy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia a^2-b^2=(a-b)(a+b).

W(x)=(x^2-1)(x^2+1)

Tutaj możemy ten wzór zastosować ponownie, rozkładając pierwszy nawias.

W(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)

Ostatniego nawiasu nie jesteśmy w stanie już bardziej rozłożyć - o jego nierozkładalności świadczy na przykład ujemna delta ( \Delta =0^2-4 \cdot 1 \cdot 1=-4<0). A zatem wielomian został rozłożony na czynniki - pierwsze dwa czynniki są pierwszego stopnia (liniowe), ostatni czynnik jest drugiego stopnia (kwadratowy).

Polecamy również:

  • Dodawanie wielomianów

    Jedną z podstawowych operacji, jakie możemy wykonywać na wielomianach, jest ich dodawanie. Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu współczynników stojących przy odpowiednich potęgach.  Więcej »

  • Mnożenie wielomianów

    Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie. Więcej »

  • Dzielenie wielomianów

    Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych. Więcej »

  • Równość wielomianów

    Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe. Więcej »

  • Twierdzenie Bezouta

    Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie. Więcej »

Komentarze (0)
4 + 5 =
echo $this->Html->script('core.min'); echo $this->Html->script('blockadblock.js'); echo $this->Html->script('fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->css('/js/fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->script('jnice/jquery.jNice', array('async' => 'async')); echo $this->Html->css('/js/jnice/jNice.min');